Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, chứa căn thức

Nhận xét:

- Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của một biểu thức (y').

-  Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng \(y=\left| f(x) \right|\) ta chuyển trị tuyệt đối vào trong căn thức \(y=\sqrt{{{f}^{2}}(x)}\), khi đó tại những điểm mà f(x)=0 thì hàm số không có đạo hàm.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: \(y=\sqrt{1-{{x}^{3}}}\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng \(\left( -\infty ;1 \right]\)

Ta có: \(y'=-\frac{3{{x}^{2}}}{2\sqrt{1-{{x}^{3}}}}\)

y'=0 khi x=0 và y'<0 khi \(\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\) và \(x\ne 0\)

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng \(\left( -\infty ;1 \right]\)

Chú ý: y'=0 tại x=0 thì hàm số  không đổi trên nửa khoảng \(\left( -\infty ;1 \right]\)

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: \(y=\left( x+3 \right)\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ -3;1 \right]\)

Ta có: \(y'=\frac{-2x\left( x+3 \right)}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}}\), hàm số không có đạo hàm tại x=-3, x=1

Với \(\forall x \in \left( { - 3;1} \right):\) y' = 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x < 1\\ - 2x\left( {x + 3} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(\left( -3;0 \right)\),hàm số nghịch biến trên hai khoảng \(\left( 0;1 \right)\)

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1. \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\)

3. \(y=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}\)

2. \(y=\sqrt{{{x}^{3}}-2x}\)

4. \(y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1. \(\text{y}=\text{x}+\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\)

3. \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}\)

2. \(y=\left( 2x+1 \right)\sqrt{9-{{x}^{2}}}\)

4. \(y=x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}\)

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1. \(y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\)

2. \(y=\frac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\)

Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1. \(y=\left| x+1 \right|\)

2. \(y=\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|\)

Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1. \(y=\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|\)

2. \(y=\left| {{x}^{2}}-4x+3 \right|+2x+3\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1. Hàm số đồng biến trên \((2;+\infty )\); nghịch biến trên \((-\infty ;0)\).

2. Hàm số đồng biến trên \(\left( -\sqrt{2};-\sqrt{\frac{2}{3}} \right)\) và \(\left( \sqrt{2};+\infty  \right)\), nghịch biến trên \(\left( -\sqrt{\frac{2}{3}};0 \right)\).

3. Hàm số y đồng biến trên khoảng (0;2), nghịch biến trên \((-\infty ;0)\) và \((2;3)\)

4. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -1;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) và \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right)\).

Bài 2:

1. \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2x - {x^2}} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1\\ 2x - {x^2} = {(x - 1)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1\\ 2{x^2} - 4x + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy, hàm số y đồng biến trên \(\left( 0;1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2};2 \right)\)

2. Hàm số y giảm trên các khoảng \(\left( -3;-\frac{9}{4} \right)\), \(\left( 2;3 \right)\) và tăng trên khoảng \(\left( -\frac{9}{4};2 \right)\)

3. Hàm  số y đồng biến trên khoảng \((5;+\infty )\) và nghịch biến trên (\(-\infty ;-4)\).

4. \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 3} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{3}{2}\\ {x^2} + 3x + 3 = {\left( {2x + 3} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;+\infty  \right)\)

Bài 3:

1. Ta có: \(y'=\frac{1}{({{x}^{2}}+1)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Vậy hàm số y đồng biến trên \mathbb{R}.

2. Trên khoảng \(\left( -\infty ;\frac{1}{3} \right): y'>0\Rightarrow y\) đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\);

Trên khoảng \(\left( \frac{1}{3};+\infty  \right): y'<0\Rightarrow y\) nghịch biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{3};+\infty  \right)\).

Bài 4:

1. Hàm số đồng biến trên \((-1;+\infty )\), nghịch biến trên \((-\infty ;-1)\).

2. Hàm số đồng biến trên (-3;-1) và \((1;+\infty )\); nghịch biến trên \((-\infty ;-3)\) và (-1;1).

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, chứa căn thức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định

Chúc các em học tập tốt!