Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Một kiện hàng được vận chuyển từ điểm A đến điểm B rồi lại được vận chuyển từ điểm B đến điểm C. Tìm vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \)

Một robot thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diễn bởi 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) (Hình 1). Tìm vectơ biểu diễn sự dịch chuyển của rô bốt sau hai sự dịch chuyển trên.

Cho hình bình hành ABCD (Hình 4). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Cho biết \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow b  = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC} \). Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}\) 

Một máy bay có vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là \({60^\circ }\). Tìm độ lớn của vectơ hợp lực \(\overrightarrow F \) là tổng của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \)

Cho 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) được biểu diễn như hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh kết quả tìm được:

a) \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = ?\)

\(\overrightarrow b  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EC}  = ?\)

b) \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = ?\)

\(\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = ?\)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow a  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;\)                       

b) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA} .\) 

Tìm hợp lực của hai lực đối nhau \(\overrightarrow F \) và \( - \overrightarrow F \) (hình 11)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OD} ;\) 

b) \(\overrightarrow b  = \left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DC} } \right)\).

a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết \(\overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AM} .\) Hoàn thành phép cộng vectơ sau: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MM}  = ?\)

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \) và \(\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {DG} \), hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {{\rm{DD}}}  = ?\)

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) 

b) \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)     

c) \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {0;} \)               

b) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \)

Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:

a)  \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA}\);                       

b)  \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \)

c) \(\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} \).

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:

a) \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} \);               

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \);               

c) \(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC;} \)                                   

b) \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M  và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là 10 N và \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \).

Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha \), lực \(\overrightarrow F \) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow {{F_1}} \) và lực cản \(\overrightarrow {{F_2}} \) (Hình 16). Cho biết \(\alpha  = 30^\circ \)và \(\left| {\overrightarrow F } \right| = a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) theo a.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K  thỏa mãn \(\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow 0 \). Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {KA} ,\overrightarrow {GH} ,\overrightarrow {AG} \).

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MN} \)

Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} \)

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} \)

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)     

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DB} \)

c) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)   

d) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là 100N và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)

Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha \), lực \(\overrightarrow F \) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow {{F_1}} \) và lực cản \(\overrightarrow {{F_2}} \) (hình 8). Cho biết \(\alpha  = 45^\circ \) và \(\left| {\overrightarrow F } \right| = a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) 

Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho 2 điểm M, N thỏa mãn:

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \)