Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Mệnh đề

Hãy theo dõi tình huống sau đây:

Bạn có thể phát biểu định lí theo cách khác?

Sau bài học này, bạn còn có thể đưa ra những cách phát biểu khác nữa.

Xét các câu sau đây:

(1) 1+1=2.

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại.

(3) Dơi là một loài chim

(4) Nấm có phải là một loài thực vật không?

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa.

(6) Trời ơi, nóng quá!

Trong những câu trên,

a) Câu nào là khẳng định đúng, câu nào là khẳng định sai?

b) Câu nào không phải là khẳng định?

c) Câu nào là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai?

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ

b) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2\)

c) 100 tỉ là số rất lớn

d) Trời hôm nay đẹp quá!

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới.

b) \(\sqrt {{{( - 5)}^2}}  =  - 5\)

c) \({5^2} + {12^2} = {13^2}\)

Xét câu “n chia hết cho 5” (n là số tự nhiên).

a) Có thể khẳng định câu trên là đúng hay sai không?

b) Tìm hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định đúng, hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định sai.

Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) \(P(x): "x^2=2"\)

b) \(Q(x): "x^2+1>0"\)

c)  \(R(n): "n+2\) chia hết cho 3” (n là số tự nhiên).

Xét các cặp mệnh đề nằm cùng dòng của bảng (có hai cột P và \(\overline P \)) sau đây:

Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh

b) 23 là số nguyên tố

c) 2021 chia hết cho 3

d) Phương trình \({x^2} - 3x + 4 = 0\) vô nghiệm.

Xét hai mệnh đề sau:

(1) Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân

(2) Nếu 2a – 4 > 0 thì a > 2

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Mỗi mệnh đề trên đều có dạng “Nếu P thì Q”. Chỉ ra P và Q ứng với mỗi mệnh đề đó.

Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”.

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

b) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo cách khác nhau.

Xét hai mệnh đề dạng \(P \Rightarrow Q\) sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng \({60^o}\)”;

“Nếu \(a = 2\) thì \({a^2} - 4 = 0\)”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) và xét tính đúng sai của nó.

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí \(P \Leftrightarrow Q\) theo hai cách khác nhau.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(1) Với mọi số tự nhiên \(x,\,\,\sqrt x \) là số vô tỉ;

(2) Bình phương của mọi số thực đều không âm;

(3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;

(4) Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0.

Sử dụng kí hiệu \(\forall ,\exists \) để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4\)

c) \(\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0\)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến

a) \(3 + 2 > 5\)

b) \(1 - 2x = 0\)

c) \(x - y = 2\)

d) \(1 - \sqrt 2  < 0\)

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.

a) 2020 chia hết cho 3

b) \(\pi  < 3,15\)

c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương.

d) Tam giác có hai góc bằng \({45^o}\) là tam giác vuông cân.

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

Cho các định lí:

P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.

Q: “Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\)” (\(a,b,c \in \mathbb{R}\)).

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí.

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”

R: “Có số thực x sao cho \({x^2} + 2x - 1 = 0\)”

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu \(\forall ,\exists \) để viết lại các mệnh đề đã cho.

Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:

a) \(\exists x \in \mathbb{N},x + 3 = 0\)

b) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 \ge 2x\)

c) \(\forall a \in \mathbb{R},\sqrt {{a^2}}  = a\)

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến

a) Số \({2^{100}}\) có 50 chữ số khi viết trong hệ thập phân

b) 0,0001 là số rất bé

c) \(2\sqrt 5  > 5\)

d) \(2x + 1 > 0\)

e) Virus SARS-CoV-2 rất nguy hiểm, đúng không?

Hãy viết ba câu là mệnh đề, ba câu không phải là mệnh đề

Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây và xét tính đúng sai của các mệnh đề phủ định đó.

a) P: “Năm 2020 là năm nhuận”;

b) Q: “\(\sqrt 2 \) không phải là số vô tỉ”;

c) R: “Phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm”;

Với mỗi cặp mệnh đề P và Q sau đây, hãy phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và xét tính đúng sai của nó

a) P: “Hai tam giác ABC và DEF bằng nhau”

    Q:  “Hai tam giác ABC và DEF đồng dạng”

b) P: “\({b^2} \ge 4ac\)”

  Q: “Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm” (a, b, c là ba số thực nào đó,\(a \ne 0\))

Ta có thể phát biểu lại mệnh đề:

                   “Mỗi hình thoi là một hình bình hành”

Thành mệnh đề kéo theo

                   “Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó là hình bình hành”

Hãy phát biểu lại mỗi mệnh đề sau thành mệnh đề kéo theo:

a) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau

b) Tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ

c) Lập phương của một số âm là một số âm

Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.

a) Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3

b) Nếu tam giác ABC có \(AB = AC\) thì tam giác ABC cân

c) Nếu tam giác ABC có hai góc bằng \(60^\circ \) thì tam giác ABC đều

Sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” và cặp mệnh đề P, Q sau đây để thành lập một mệnh đề đúng.

a) P: “\(a = b\)”, Q: “\({a^2} = {b^2}\)” (a, b là hai số thực nào đó)

b) P: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”

    Q: “Tứ giác ABCD là hình thang cân”

c) P: “Tam giác ABC có hai góc bằng \(45^\circ \)”, Q: “Tam giác ABC vuông cân”

Dùng kí hiệu \(\forall \) hoặc \(\exists \) để viết các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) Mọi số thực khác 0 nhân với nghịch đảo của nó bằng 1

b) Có số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 20

c) Bình phương của mọi số thực đều dương

d) Có ba số tự nhiên khác 0 sao cho tổng bình phương của chúng bằng bình phương số còn lại

Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) \(\exists x \in \mathbb{N},2{x^2} + x = 1\)

b) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 5 > 4x\)