Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Mệnh đề

Ví dụ: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) 3 là số lẻ

b) 1 + 2 > 3

c) \(\pi \) là số vô tỉ phải không?

d) 0,0001 là số rất bé

e) Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên sao hoả

f) \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ

g) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2\)

Giải

a) "3 là số lẻ" là mệnh đề (là mệnh đề đúng)

b) "1 + 2 > 3" là mệnh đề (là mệnh đề sai)

c) "\(\pi \) là số vô tỉ phải không?" là câu hỏi không phải mệnh đề

d) Câu "0,0001 là số rất bé" không có tính hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất bé). Do đó, nó không phải là mệnh đề

e) "Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên sao hoả" là một khẳng định chưa thể chắc chắn là đúng hay sai. Tuy nhiên nó chắc chắn có thể hoặc đúng hoặc sai. Do đó nó là một mệnh đề.

f) “\(\sqrt 2 \) là số vô tỉ” là một mệnh đề (do là khẳng định đúng).

g) “\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2\)” là một mệnh đề (do là khẳng định đúng).

Chú ý: Những mệnh đề liên quan đến toán học (như các mệnh đề ở câu a), câu b) trong ví dụ còn được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ: Xét câu "n chia hết cho 5" (n là số tự nhiên)

Câu n chia hết cho 5 là một khẳng định nhưng không là mệnh đề , vì khẳng định này có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị n. Tuy vậy, khi thay n bằng một số tự nhiên cụ thể thì ta nhận được một mệnh đề. Ta gọi "n chia hết cho 5" là một mệnh đề chưa biến (biến n), kí hiệu P(n). Ta viết P(n): "n chia hết cho 5" (n là số tự nhiên)

- Một mệnh đề chứa biến có thể chưa một biến hoặc nhiều biến

Ví dụ: Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) \(P(x): "x^2=2"\)

b) \(Q(x): "x^2+1>0"\).

Giải

a)

+) \(x = \sqrt 2 \) ta được mệnh đề  là một mệnh đề đúng.

+) \(x = 0\) ta được mệnh đề  là một mệnh đề sai.

b)

+) \(x = 0\) ta được mệnh đề  là một mệnh đề đúng.

+) Không có giá trị của x để  là một mệnh đề sai do \({x^2} + 1 > 0\) với mọi x.

Ví dụ: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh

b) 23 là số nguyên tố

Giải

+ Mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên là:

a) “Paris không phải là thủ đô của nước Anh”

b) “23 không phải là số nguyên tố”

+) Xét tính đúng sai:

a) “Paris là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề sai.

“Paris không phải là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề đúng.

b) “23 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

“23 không phải là số nguyên tố” là mệnh đề sai.

Nhận xét: 

a) Mệnh đề p => Q còn được phát biểu là "P kéo theo Q" hoặc "từ P suy ra Q".

b) Để xét tính đúng sai của mệnh đề P => Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề P đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học sơ sở

* Khi mệnh đề P => Q là định lí, ta nói:

• P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.
• P là điều kiện đủ để có Q.
• Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ: Xét hai mệnh đề dạng \(P \Rightarrow Q\) sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng \({60^o}\)”;

“Nếu \(a = 2\) thì \({a^2} - 4 = 0\)”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) và xét tính đúng sai của nó.

Giải

a)

+) Mệnh đề R: “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng \({60^o}\)” có dạng \(P \Rightarrow Q\), với

P: “ABC là tam giác đều” và Q: “Tam giác ABC có hai góc bằng \({60^o}\)”

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó \(P \Rightarrow Q\) đúng hay R đúng.

+) Mệnh đề T: “Nếu \(a = 2\) thì \({a^2} - 4 = 0\)” có dạng \(P \Rightarrow Q\), với:

P: “\(a = 2\)” và Q: “\({a^2} - 4 = 0\)”.

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó \(P \Rightarrow Q\) đúng hay T đúng.

b) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) của hai mệnh đề trên là:

“Nếu ABC có hai góc bằng \({60^o}\) thì nó là tam giác đều”, đúng.

“Nếu \({a^2} - 4 = 0\) thì \(a = 2\)” sai (vì thiếu nghiệm \(a =  - 2\)).

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là nmệnh đề đúng.

Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai

Ví dụ: Cho hai mệnh đề \(A\):"6 chia hết cho 2" và \(B\):"4 là số chẵn"

Khi đó mệnh đề \(A\) và \(B\) đều đúng nên \(A \Leftrightarrow B\) phát biểu là "6 chia hết cho 2 khi và chỉ khi 4 là số chẵn"

Ví dụ: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4\)

Giải

a) Mệnh đề sai, vì \(x = 0 \in \mathbb{R}\) nhưng \({0^2}\) không lớn hơn 0.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\)”

b) Mệnh đề đúng, vì \(x = 1 \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \({1^2} = 5.1 - 4\)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} \ne 5x - 4\)”

Câu 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(1) Với mọi số tự nhiên \(x,\,\,\sqrt x \) là số vô tỉ;

(2) Bình phương của mọi số thực đều không âm;

(3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;

(4) Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

(1) “Với mọi số tự nhiên \(x,\,\,\sqrt x \) là số vô tỉ” sai, chẳng hạn \(x = 1:\;\sqrt x  = 1\) không là số vô tỉ.

(2) “Bình phương của mọi số thực đều không âm” đúng;

(3) “Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0” đúng, số nguyên đó chính là số 0;

(4) “Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0” sai, vì chỉ khi \(n = \frac{1}{2}\) thì 2n – 1 = 0 nhưng \(\frac{1}{2}\) không phải là số tự nhiên.

Câu 2: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4\)

c) \(\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề sai, vì \(x = 0 \in \mathbb{R}\) nhưng \({0^2}\) không lớn hơn 0.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\)”

b) Mệnh đề đúng, vì \(x = 1 \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \({1^2} = 5.1 - 4\)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} \ne 5x - 4\)”

 c) Mệnh đề sai, vì \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\forall x \in \mathbb{Z},2x + 1 \ne 0\)”

Qua bài giảng Mệnh đề này giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Biết thế nào là một mệnh đề, mệnh đề phủ định, mệnh đề chứa biến

- Xác định được một câu cho trước có là mệnh đề hay không.

- Biết phủ định của một mệnh đề, xác định được tính đúng sai của một mệnh đề.

- Hiểu được các khái niệm để có thể giải được một số bài tập đơn giản

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 1 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 

  • A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
  • B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.
  • C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
  • D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. 

• Câu 2:

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

  • A.

    Nếu số nguyên​​ n$n$​​ có chữ số tận cùng là​​ $\mathrm{5 }$thì số nguyên​​ n$n$chia hết cho​​ 5. 

  • B. Nếu tứ giác​​ ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác​​ ABCD là hình bình hành. 
  • C. Nếu tứ giác​​ ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác​​ ABCD có hai đường chéo bằng nhau. 
  • D. Nếu tứ giác​​ ABCD là hình thoi thì tứ giác​​ ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. 

• Câu 3:

  Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Số 6 chia hết cho cả 2 và 3”:

  • A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3
  • B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3
  • C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3
  • D. Số 6 không chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 1 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khởi động trang 7 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 1 trang 7 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 8 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 8 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 4 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 4 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 5 trang 12 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 5 trang 12 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 6 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 6 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 7 trang 14 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 8 trang 14 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 14 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 14 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 14 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 15 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 15 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 15 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 15 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 8 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 9 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!