OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).

    • A. 
      2
    • B. 
      3
    • C. 
      1
    • D. 
      Vô số

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Với a, b là các số nguyên dương, ta có:

    \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\)

    \( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + {b^2} - ab}} + {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) + 3ab\left( {a + b} \right) + 1\)

    \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {a^3} + {b^3} = {\log _3}\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] + 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

    Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

    \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\forall t > 0\) nên hàm số f(t) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

    Khi đó, phương trình (1) trở thành : \(f\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = f\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\)

    \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\left( {a + b - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - ab = 0\,\,\left( * \right)\\ a + b - 3 = 0 \end{array} \right.\)

    Do \(a, b \in N^*\) nên phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra: a + b = 3.

    Mà a, b là các số nguyên dương nên \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 3\\ 0 < b < 3\\ a + b = 3\\ a,b \in {N^*} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

    Vậy có hai cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12