Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có và , tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30^o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
- A.
  \(\frac{{{a^3}}}{6}\)
- B.
  \(\frac{{{a^3}}}{3}\)
- C.
  \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
- D.
  \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC).

\(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot SB\\ AB \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AB \bot BD\)

\(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot SA\\ AC \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AC \bot AD\,\)

Tam giác ABC có \(\widehat {CAB} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 45^\circ \).

Tam giác ABD vuông tại B có \(\widehat {BAD} = 45^\circ \) suy ra tam giác ABD vuông cân và \(AD = a\sqrt 2 \).

Từ đó có tam giác ACD vuông cân tại A ⇒ tứ giác ABCD là hình thang vuông tại B và D.

Trong mặt phẳng (SBD), hạ \(DH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\). Dễ chứng minh \(DH \bot \left( {SAB} \right)\).

Trong mặt phẳng (SAD), hạ \(DK \bot SA\,\,\left( {K \in SA} \right)\). Dễ chứng minh \(DK \bot \left( {SAC} \right)\).

Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) ta có: \(\alpha = \widehat {\left( {DH,DK} \right)} = \widehat {HDK} = 30^\circ \) do tam giác DHK vuông tại H.

Đặt SD = x, (x > 0). Tam giác DHK vuông tại H có

\(\cos \widehat {HDK} = \frac{{HD}}{{DK}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}.\frac{{\sqrt {2{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 .ax}}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 6 \sqrt {{a^2} + {x^2}} = 2\sqrt {2{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 6{a^2} + 6{x^2} = 8{a^2} + 4{x^2} \Leftrightarrow x = a\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.SD.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

Vậy thể tích khối S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải