Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y=f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( 1-x \right)\) là đường cong ở hình vẽ.

Câu hỏi:
Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y=f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( 1-x \right)\) là đường cong ở hình vẽ.

Hàm số \(h\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{3}{2}{{x}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ 0;2 \right]\) tại
- A.
  \(x=\frac{1}{2}.\)
- B.
  \(x=2.\)
- C.
  \(x=1.\)
- D.
  \(x=0.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C
Do

\({f}'\left( 1-x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.\)

(với \(x=1\) là nghiệm kép);\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( 1-x \right)=-\infty \) và \(y={f}'\left( 1-x \right)\) là hàm số bậc ba nên \({f}'\left( 1-x \right)=-k{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-3 \right)\) (với \(k>0\)).

\(\Rightarrow {f}'\left( 1-x \right)=k{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 2+1-x \right)\).

\(\Rightarrow {f}'\left( x \right)=k{{x}^{2}}\left( 2+x \right)\).

Đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( 1-x \right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( 0;3 \right)\) nên \({f}'\left( 1-0 \right)=3\Leftrightarrow {f}'\left( 1 \right)=3\)

\(\Rightarrow k{{.1}^{2}}\left( 2+1 \right)=3\Leftrightarrow k=1\).

Khi đó \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( 2+x \right)\).

Ta có \({h}'\left( x \right)={f}'\,\left( x \right)-3x={{x}^{2}}\left( 2+x \right)-3x=x\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\).

Cho

\({h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{align} \right.\).

Bảng biến thiên

Khi đó hàm số \(h\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{3}{2}{{x}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ 0;2 \right]\) tại \(x=1\).

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải