Xác định Công suất tiêu thụ cực đại và tổng trở của mạch điện xoay chiều có RLC nối tiếp

CÔNG SUẤT TIÊU THỤ CỰC ĐẠI VÀ TỔNG TRỞ CỦA MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

1. Phương pháp

Khi L,C, w không đổi thì mối liên hệ giữa ZL và ZC không thay đổi nên sự thay đổi của R không gây ra hiện tượng cộng hưởng.

Tìm công suất tiêu thụ cực đại của đọan mạch:

Ta có:

\(P = {I^2}R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} = \frac{{{U^2}}}{{R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}}}\)

Do U = const nên để P = Pmax  thì \({\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\) .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương R và  \(\frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}\) ta được:

\(R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R} \ge 2\sqrt {R.\frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} = 2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\)

Vậy \({\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\) là \(2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\) lúc đó dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra nên ta có:   

\(R = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} Z = R\sqrt 2 \\ I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{{R\sqrt 2 }}\\ \cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan \varphi = 1 \end{array} \right\}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {P_{\max }} = \frac{{{U^2}}}{{2R}} = \frac{{{U^2}}}{{2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|}}\\ I = {I_{\max }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{U}{{\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|}} \end{array} \right. \end{array}\)

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho mạch điện như hình vẽ:

 Biết L = \(\frac{1}{\pi }\)H,  C = \(\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }\)F ,  uAB = 200cos100pt V. R phải có giá trị bằng bao nhiêu để công suất toả nhiệt trên R là lớn nhất ? Tính công suất đó.

A. 50 W; 200W           B. 100 W; 200W       

C. 50 W; 100W           D. 100 W; 100W

  Hướng dẫn:

Công suất nhiệt trên R: 

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} U = 100\sqrt 2 V\\ {Z_L} = \omega L = 100\pi .\frac{1}{\pi } = 100\Omega \\ {Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = \frac{1}{{100\pi .\frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 50\Omega \end{array} \right.\\ P = {I^2}R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} = \frac{{{U^2}}}{{R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}}} \end{array}\)

Do U = const nên để P = Pmax  thì \({\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\) .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương R và  \(\frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}\) ta được:

\(R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R} \ge 2\sqrt {R.\frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} = 2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\)

Vậy \({\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\) là \(2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\) lúc đó dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra nên ta có:   

\(R = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right| = 50\Omega \)

Khi đó: 

\({P_{\max }} = \frac{{{U^2}}}{{2R}} = \left( {\frac{{100{{\sqrt 2 }^2}}}{{2.50}}} \right) = 200W\)

Chọn A

Câu 2: Cho đoạn mạch xoay chiều RLC mắc nối tiếp có cuộn dây thuần cảm kháng có độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C, R là một điện trở thuần thay đổi được. Đặt một điện áp xoay chiều ổn định ở hai đầu đoạn mạch AB có biểu thức (V). Khi R = 100W thì thấy mạch tiêu thụ công suất cực đại. Xác định cường độ dòng điện trong mạch lúc này?

A. 2A.                                B. A.  

C. 2 A.                          D. A         

Hướng dẫn:

Công suất của mạch:

\(\begin{array}{l} P = {I^2}R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} = \frac{{{U^2}}}{{R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}}}\\ Khi\,\,\,P{\rm{ }} = {\rm{ }}{P_{max}}\;:\\ {\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }} \Leftrightarrow R = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\\ I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \frac{U}{{R\sqrt 2 }} = \frac{{200}}{{100\sqrt 2 }} = A \end{array}\)

Chọn B

Câu 3: Cho mạch R, L, C. R có thể thay đổi đ­ược, U = URL =  100 V, UC = 200V. Xác định công suất tiêu thụ trong mạch. Biết tụ điện có điện dung F và tần số dòng điện f = 50Hz.

A. 100W                     B. 100  W               

C. 200W                     D. 200  W

  Hướng dẫn:

Công suất tiêu thụ trong mạch:

\(\begin{array}{l} I = \frac{{{U_C}}}{{{Z_C}}} = \frac{{200}}{{200}} = 1A\\ P = {I^2}R = \frac{{{U^2}R}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} = \frac{{{U^2}}}{{R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}}} \end{array}\)

Do U = const nên để P = Pmax  thì \({\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\) .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương R và  \(\frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}\) ta được:

\(R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R} \ge 2\sqrt {R.\frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} = 2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\)

Vậy \({\left[ {R + \frac{{{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\) là \(2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\) lúc đó dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra nên ta có:   

\(\begin{array}{l} R = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Z = R\sqrt 2 \\ cos\varphi = \frac{R}{Z} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow {P_{\max }} = UI\cos \varphi = 100\sqrt 2 .1.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 100W \end{array}\)

Chọn A

...

---Để xem tiếp nội dung các bài tập phần ví dụ minh họa, các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Xác định Công suất tiêu thụ cực đại và tổng trở của mạch điện xoay chiều có RLC nối tiếp. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• 20 câu hỏi trắc nghiệm về năng lượng của vật DĐĐH môn Vật lý 12 năm 2020

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !