Phương pháp tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên miền D

Cho hàm số \(y=f\left( x,m \right),m\) là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên \(D\Leftrightarrow {f}'\ge 0,\forall x\in D\).

• Hàm số f nghịch biến trên \(D\Leftrightarrow {f}'\le 0,\forall x\in D\).

Từ đó suy ra điều kiện của m.

1. Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu.

Lí thuyết nhắc lại:

Cho bất phương trình:

\(f(x,m)\ge 0,\forall x\in D\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge g\left( m \right),\forall x\in D\Leftrightarrow \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge g\left( m \right)\)

Cho bất phương trình:

\(f(x,m)\le 0,\forall x\in D\Leftrightarrow f\left( x \right)\le g\left( m \right),\forall x\in D\Leftrightarrow \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le g\left( m \right)\)

Phương pháp: Để điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của hàm số y=f(x,m), ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính \({y}'\). Để hàm số đồng biến \({y}'\ge 0,\forall x\in D\), (để hàm số nghịch biến \({y}'\le 0,\forall x\in D\)) thì ta sử dụng lý thuyết nhắc lại phần trên.

- Bước 3: Kết luận giá trị của tham số.

Chú ý:

+ Phương pháp trên chỉ sử dụng được khi ta có thể tách được thành \(f\left( x \right)v\grave{a}\text{ }g\left( m \right)\) riêng biệt.

+ Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2.

2. Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện của tham số:

Lý thuyết nhắc lại:

1) \({y}'=0\) chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu \(y'=a{{x}^{2}}+bx+c\) thì:

\( \bullet {\rm{ }}y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = b = 0\\ c \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right.{\rm{ }} \bullet {\rm{ }}y' \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = b = 0\\ c \le 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai \(g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\)

Nếu \(\Delta <0\) thì \(g\left( x \right)\) luôn cùng dấu với a.

Nếu \(\Delta =0\) thì \(g\left( x \right)\) luôn cùng dấu với a, trừ \(x=-\frac{b}{2a}\) 

Nếu \(\Delta >0\) thì \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và trong khoảng hai nghiệm thì \(g\left( x \right)\) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì \(g\left( x \right)\) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) của tam thức bậc hai \(g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) với số 0.

\( \bullet {\rm{ }}{x_1} < {x_2} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.{\rm{ }} \bullet {\rm{ }}0 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.{\rm{ }} \bullet {\rm{ }}{x_1} < 0 < {x_2} \Leftrightarrow P < 0\)

5) Để hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) \(\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

• Tính \({y}'\).

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và ngịch biến: \(\left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta >0 \\ \end{align} \right.\text{ }\left( 1 \right)\)

• Biến đổi \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=d\) thành \({{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{d}^{2}}\text{   }\left( 2 \right)\)

• Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:

\(y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( 2m+1 \right)x-3{{m}^{2}}+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?

A. \(m\le 2.\)

B. \(m\le -\frac{5}{2}\)

C. \(m\ge -\frac{5}{2}\)

D. \(m\le 3\)

Giải:

TXĐ : \(D=\mathbb{R}\).

Ta có: \({y}'=-{{x}^{2}}+4x+\left( 2x+1 \right)\)

\(\Delta '=2m+5\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

\({y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '\le 0\Leftrightarrow m\le -\frac{5}{2}\)

Chọn B.

Bài 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số:

\(y=m{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x-3m+2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?

A. \(m\le 2\)

B. \(m\le 1\)

C. \(m\ge -1\)

D. \(m\le -1\)

Giải:

TXĐ : \(D=\mathbb{R}$.

Ta có: \({y}'=3m{{x}^{2}}-6x+\left( m-2 \right)\)

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

\({y}'=3m{{x}^{2}}-6x+\left( m-2 \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

TH1: m=0, khi đó \({y}'=-6x-2\le 0,x\in \mathbb{R}\)

\(y'=-6x-2\le 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-1}{3}\). Không thỏa mãn yêu cầu đề bài \(\forall x\in \mathbb{R}\).

Vậy m=0 không thỏa mãn.

TH2: \(m\ne 0\). Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\(y'\left( x \right) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ \Delta = 9 - 3m\left( {m - 2} \right) \le 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ - 3{m^2} + 6m + 9 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ \left[ \begin{array}{l} m \le - 1\\ m \ge 3 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1\)

Chọn D.

Bài 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: \(y=\frac{mx+1}{x+m}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

A. \(m\le 1\) hoặc \(m\ge -1\).

B. m<-1 hoặc m>1.

C. \(m\le 2\) hoặc \(m\ge -1\).

D. \(m\le 2\) hoặc \(m\ge 1\).

Giải:

TXĐ : \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}\).

Ta có: \({y}'=\frac{{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi \(y'>0,\forall x\ne -m\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-1 \\ & m>1 \\ \end{align} \right.\)

Chọn B.

Bài 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:

\(y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+\frac{1}{3}\) đồng biến trên \(\left[ 2;+\infty  \right)\)

A. \(m\ge \frac{2}{3}\)

B. \(m\le 1\)

C. \(m\ge -1\)

D. \(m\le -1\)

Giải:

Ta có: \({y}'=m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right)\)

Hàm số đồng biến trên \(\left[ 2;+\infty  \right)\) thì

\(\begin{align} & y'\ge 0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right)\ge 0,\forall \in \left[ 2;+\infty \right) \\ & \text{ }\Leftrightarrow m\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)+2x-6\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{6-2x}{{{x}^{2}}-2x+3},\forall \in \left[ 2;+\infty \right) \\ \end{align}\)

Đặt \(f\left( x \right)=\frac{6-2x}{{{x}^{2}}-2x+3},\forall x\in \left[ 2;+\infty  \right)\) ta tìm GTLN của hàm: \(f\left( x \right),\forall x\in \left[ 2;+\infty  \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}},\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 + \sqrt 6 \\ x = 3 - \sqrt 6 \left( {loai} \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Ta có: \(f\left( 2 \right)=\frac{2}{3},f\left( 3+\sqrt{6} \right)=\frac{2-\sqrt{6}}{2},\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,f\left( x \right)\le m\Leftrightarrow \frac{2}{3}\le m.\)

Chọn A.

Bài 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:

\(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\)?

A. \(m\le 1\)

B. \(m\le -1\)

C. \(m\ge -1\)

D. \(m\le 0\)

Giải:

Ta có: \({y}'=-3{{x}^{2}}+6x+3m\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\) thì :

\(\begin{align} & y'\le 0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\ & \text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x\ge m,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\ \end{align}\)

Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\) Ta đi tìm GTNN của hàm \(f\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\)

Ta có:

\(\begin{align} & f'\left( x \right)=2x-2 \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x-2=0\Leftrightarrow x=1. \\ \end{align}\)

Ta có: \(f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=-1,\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,f(x)=+\infty \)

Vậy để hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\) thì: \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m\Leftrightarrow m\le -1\).

Chọn B.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên miền D. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

• Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Chúc các em học tập tốt!