Phương pháp giải bài toán hai vật dao động môn Vật Lý 12 năm 2021-2022

Xét bài toán dao động điều hòa của hai vật trên cùng 1 trục tọa độ hoặc trên hai trục tọa độ song song với nhau. Nếu chọn gốc tọa độ của 2 vật trùng nhau hoặc gốc tọa độ của 2 vật nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với quỹ đạo của hai vật thì trong quá trình dao động, hai vật sẽ có lúc gặp nhau. Ta quan tâm đến hai vật gặp nhau khi nào, khoảng cách giữa hai vật ra sao? Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Hai vật dao động cùng tần số

- Trường hợp 2: Hai vật dao động khác tần số

Chúng ta sẽ qua những ví dụ cụ thể để hiểu phương pháp.

*Trường hợp 1: Hai vật dao động cùng tần số

Ví dụ 1: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo \(10{{\pi }^{2}}\) N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng của hai vật cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với quỹ đạo chuyển động của hai vật). Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật gặp nhau liên tiếp là

A. 0,3.                          

B. 0,2.                               

C. 0,4.                               

D. 0,1.

Hướng dẫn giải

Vì hai con lắc lò xo giống hệt nhau nên hai vật dao động có cùng tần số. Giả sử phương trình dao động của hai vật là 

\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=2{{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\ & {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

Nếu giả sử tại thời điểm t, hai vật gặp nhau thì ta có

\({{x}_{1}}={{x}_{2}}\Leftrightarrow 2{{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow 2\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow 2\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\)

\(\Leftrightarrow 2\cos a=\cos \left( a+\Delta \varphi  \right),a=\omega t+{{\varphi }_{1}};\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}\)

\(\Leftrightarrow 2\cos a=\cos a\cos \Delta \varphi -\sin a\sin \Delta \varphi \)

\(\Leftrightarrow \left( \cos \Delta \varphi -2 \right)\cos a=\sin a\sin \Delta \varphi \Leftrightarrow \tan a=\frac{\left( \cos \Delta \varphi -2 \right)}{\sin \Delta \varphi }=X\)

\(\Rightarrow a=\arctan X+k\pi \Rightarrow \omega t+{{\varphi }_{1}}=\arctan X+k\pi \)

\(\Rightarrow {{t}_{k}}=\frac{\operatorname{arctanX}-{{\varphi }_{1}}}{\omega }+\frac{k\pi }{\omega }=\frac{\arctan X-{{\varphi }_{1}}}{\omega }+k\frac{T}{2}\)

Thời gian giữa hai lần liên tiếp hai vật gặp nhau và chuyển động ngược chiều nhau là

\(\Delta t={{t}_{k+1}}-{{t}_{k}}=\left( \frac{\arctan X-{{\varphi }_{1}}}{\omega }+\frac{\left( k+1 \right)T}{2} \right)-\left( \frac{\arctan X-{{\varphi }_{1}}}{\omega }+\frac{kT}{2} \right)=\frac{T}{2}\)

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp hai vật gặp nhau là \(\frac{T}{2}\) nên khoảng thời gian giữa ba lần liên tiếp  hai vật gặp nhau là \(\Delta {t}'=\left( 3-1 \right)\frac{T}{2}=T\). Thay số tính được \(\Delta {t}'=0,4s\).

Đáp án C.

Ví dụ 2: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là: \({{x}_{1}}=3\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\) và \({{x}_{2}}=\sqrt{3}\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)\) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau mấy lần?

A. 3 lần.                       

B. 4 lần.                            

C. 5 lần.                            

D. 6 lần.

Hướng dẫn giải

Tại thời điểm ban đầu \(t=0\) ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 3\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{2}\\ {x_2} = \sqrt 3 \cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{3}{2} \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{3}{2}\)

Như vậy, tại thời điểm ban đầu, hai vật gặp nhau. Chu kì \(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{5\pi }=0,4\)

Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai con lắc gặp nhau là \(\Delta t=\left( n-1 \right)\frac{T}{2}=1\Rightarrow n=6\)

Đáp án D.

Ví dụ 3: Hai vật dao động điều hòa với phương trình \({{x}_{1}}=3\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\)cm và \({{x}_{2}}=\sqrt{3}\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)\) cm dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau (vị trí cân bằng của hai vật đều ở gốc tọa độ). Kể từ thời điểm 0,21s trở đi, trong 1s hai vật gặp nhau bao nhiều lần?

A. 6 lần.                       

B. 5 lần.                            

C. 4 lần.                            

D. 3 lần.

Hướng dẫn giải

Khi gặp nhau thì chúng cùng li độ \({{x}_{1}}={{x}_{2}}\). Từ đó ta có

\(3\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{3} \right)=\sqrt{3}\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6} \right)=\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)\)

Để cho gọn, ta đặt \(\left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)=a\) phương trình trở thành:

\(\sqrt{3}\cos \left( a-\frac{\pi }{6} \right)=\cos a\Leftrightarrow \sqrt{3}\left( \cos a.cos\frac{\pi }{6}+\sin a.\sin \frac{\pi }{6} \right)=\cos a\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos \left( \cos a.\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin a.\frac{1}{2} \right)=\cos a\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin a=-\cos a\)

\(\Rightarrow \tan a=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=-\frac{\pi }{6}+k\pi \). Do đó \(\left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 5\pi t=k\pi \Rightarrow t=\frac{k}{5}\)

Theo bài ra ta có: \(0,21\le t\le 1,21\Rightarrow 0,21\le \frac{k}{5}\le 1,21\Rightarrow 1,05\le k\le 6,05\)

Có 5 giá trị nguyên của k nên hai vật sẽ gặp nhau 5 lần.

Đáp án B.

* Trường hợp 2: Hai vật dao động khác tần số

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết từ phần Ví dụ minh họa của tài liệu các em vui lòng xem Online hoặc Đăng nhập vào HOC247 đề tải về máy)---

Bài 1: Hai chất điểm dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng song song với trục Ox, cạnh nhau, cùng tần số và biên độ của chất điểm thứ nhất là \(\frac{A}{\sqrt{3}}\) còn của chất điểm thứ hai là A. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng. Khi hai chất điểm gặp nhau ở tọa độ \(+\frac{A}{2}\), chúng chuyển động ngược chiều nhau. Hiệu pha của hai dao động này có thể nhận giá trị nào sau đây

A. \(\frac{\pi }{2}\)          

B. \(\frac{\pi }{3}\)          

C.\(\pi \)                            

D. \(\frac{2\pi }{3}\)

Bài 2: Hai vật có cùng khối lượng gắn vào 2 lò xo và dao động điều hòa với cùng tần số, cùng phương nhưng ngược pha nhau, có biên độ lần lượt là \({{A}_{1}};{{A}_{2}}\) biết \({{A}_{1}}=2{{A}_{2}}\). Khi dao động 1 có động năng \({{\text{W}}_{1}}=0,56J\) thì dao động 2 có thế năng \({{\text{W}}_{t2}}=0,08J\). Hỏi khi dao động 1 có động năng \({{\text{W}}_{1}}=0,08J\) thì dao động 2 có thế năng là bao nhiêu?

A. 0,22J.                           

B. 0,20J.                           

C. 0,56J.                           

D. 0,48J.

Bài 3: Hai vật có khối lượng bằng nhau được gắn vào hai lò xo giống nhau đặt nằm ngang dao động trên hai đường thẳng song song cạnh nhau có vị trí cân bằng nằm trên đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trên. Ban đầu hai vật được kéo ra ở cùng một vị trí, người ta thả nhẹ cho vật 1 chuyển động, khi vật 1 đi qua vị trí cân bằng thì người ta bắt đầu thả nhẹ vật 2. Hai vật dao động điều hòa với cơ năng là \(4\sqrt{3}\)J. Khi vật 1 có động năng là \(\sqrt{3}\)J thì thế năng của vật 2 bằng

A. \(\sqrt{3}\)J                  

B. 3\(\sqrt{3}\)J                

C. 2J                                 

D. 2\(\sqrt{3}\)J

Bài 4: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song với trục Ox, có vị trí cân bằng cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng và đi qua O. Hai chất điểm dao động theo phương trình\({{x}_{1}}=4\cos \left( 4t+\frac{\pi }{3} \right)\)cm; \({{x}_{2}}=4\sqrt{2}\cos \left( 4t+\frac{\pi }{12} \right)\) cm. Hỏi trong quá trình dao động khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox là bao nhiêu?

A. 0; 4 cm.                                                                  

B. 2; 8 cm.

C. 0; \(4+4\sqrt{2}\) cm.                                            

D. 2; \(4+4\sqrt{2}\) cm.

Bài 5: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng trục tọa độ Ox với phương trình lần lượt là: \({{x}_{1}}=4\cos \left( 10\pi t+\frac{\pi }{3} \right)\)cm; \({{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( 5t+\frac{\pi }{12} \right)\) cm. Coi rằng trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là 4cm. Hãy tìm biên độ A₂?

A. 4 cm.                       

B. 2 cm.                            

C. 8 cm.                            

D. \(4\sqrt{2}\) cm.

Bài 6: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các phương trình lần lượt \({{x}_{1}}=4\cos \left( 4\pi t \right)\)cm và \({{x}_{2}}=4\sqrt{3}\cos \left( 4\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\)cm. Thời điểm đầu tiên hai chất điểm gặp nhau là

A. \(\frac{1}{16}\)s.        

B. \(\frac{1}{14}\)s.         

C. \(\frac{5}{24}\)s.        

D. 2,12 s.

Bài 7: Hai vật dao động điều hòa với phương trình \({{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos 20\pi t\)(cm),\({{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos 20\pi t\) (cm). Tính từ thời điểm ban đầu, thì cứ sau 0,125 s thì khoảng cách 2 vật lại bằng \({{A}_{1}}\). Biên độ A₂ là

A.\(\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}{{A}_{1}}\)                

B. \(\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}{{A}_{1}}\)                                          

C.\(\frac{2-\sqrt{2}}{2}{{A}_{1}}\)                           

D. \(\frac{2+\sqrt{2}}{2}{{A}_{1}}\)

Bài 8: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ dao động của M và N đều là 6 cm. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 6 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng 3 lần thế năng, tỉ số động năng của M và thế năng của N là

A. \(\frac{3}{4}\) hoặc 3  

B. \(\frac{1}{2}\) hoặc 2 

C. \(\frac{2}{3}\) hoặc \(\frac{1}{6}\)         

D. \(\frac{2}{3}\) hoặc 2

Bài 9: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là

A.\(\frac{4}{3}\)               

B. \(\frac{3}{4}\)             

C.\(\frac{9}{16}\)             

D. \(\frac{16}{9}\)

Bài 10: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng cùng song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O và vuông góc với Ox. Biên độ dao động của chúng lần lượt là 140,0mm và 480,0mm. Biết hai chất điểm đi qua nhau ở vị trí có li độ \(x=134,4\)mm khi chúng đang chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm đó theo phương Ox là

A. 620,0mm.                     

B. 485,6mm.                     

C. 500,0mm.                     

D. 474,4mm.

ĐÁP ÁN PHẦN LUYỆN TẬP

1A	2B	3A	4A	5D
6C	7B	8A	9C	10C

Trên đây là phần trích đoạn một phần nội dung trong Phương pháp giải bài toán hai vật dao động môn Vật Lý 12 năm 2021-2022. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh lớp 12 ôn tập tốt và đạt thành tích cao nhất trong học tập

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề bồi dưỡng HSG Vật lý 12 - Dao Động Cơ Học

• Chuyên đề về Sự tương giao giữa Dao động cơ và Dao động điện từ môn Vật Lý 12

Thi online: 

• 30 Bài tập trắc nghiệm Dao động điều hòa Vật lý 12 nâng cao

Chúc các em học tập tốt !