Một số phương pháp giải phương trình logarit Toán 12

Với a > 0, a khác 1: \({{\log }_{a}}x=b\Leftrightarrow x={{a}^{b}}\)              

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a khác 1: \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0\,\,\,\,(hay\,g(x) > 0) \end{array} \right.\)

b) Mũ hoá

Với a > 0, a khác 1: \({{\log }_{a}}f(x)=b\Leftrightarrow {{a}^{{{\log }_{a}}f(x)}}={{a}^{b}}\)

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

• Với a, b, c > 0 và a, b, c khác 1: \({{a}^{{{\log }_{b}}c}}={{c}^{{{\log }_{b}}a}}\)

Câu 1: Biết phương trình \({{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\)có nghiệm duy nhất \(x=a+b\sqrt{2}\) trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Tính \(a+b\)?

A. \(5\) 

B. \(-1\) 

C. \(1\)

D. \(2\)

Hướng dẫn giải:

\({{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

\(\begin{align} & \text{Pt}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 2\sqrt{x}+1 \right)-{{\log }_{5}}x={{\log }_{3}}{{(x-1)}^{2}}-{{\log }_{3}}4x \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 2\sqrt{x}+1 \right)+{{\log }_{3}}4x={{\log }_{5}}x+{{\log }_{3}}{{(x-1)}^{2}}\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)

Đặt \(t=2\sqrt{x}+1\Rightarrow 4x={{\left( t-1 \right)}^{2}}\)

(1) có dạng \({{\log }_{5}}t+{{\log }_{3}}{{(t-1)}^{2}}={{\log }_{5}}x+{{\log }_{3}}{{(x-1)}^{2}}\,\,\,\,(2)\)

Xét \(f(y)={{\log }_{5}}y+{{\log }_{3}}{{(y-1)}^{2}}\), do \(x>1\Rightarrow t>3\Rightarrow y>1\).

Xét \(y>1\): \(f'(y)=\frac{1}{y\ln 5}+\frac{1}{{{(y-1)}^{2}}\ln 3}.2(y-1)>0\)

\(\Rightarrow f(y)\) là hàm đồng biến trên miền \(\left( 1;+\infty  \right)\)

(2) có dạng \(f(t)=f(x)\Leftrightarrow t=x\Leftrightarrow x=2\sqrt{x}+1\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \\ \sqrt x = 1 - \sqrt 2 \,\,\,\,({\rm{vn}}) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \,\,(tm)\).

Vậy \(x=3+2\sqrt{2}\,\,\).

Chọn A.

Câu 2: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({{\log }_{4}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{\left( 4+x \right)}^{3}}\)

A. 1 nghiệm                    

B. 2 nghiệm                 

C. 3 nghiệm                 

D. Vô nghiệm

Hướng dẫn giải:

\({{\log }_{4}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{\left( 4+x \right)}^{3}}\) (2)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ne 0\\ 4 - x > 0\\ 4 + x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < x < 4\\ x \ne - 1 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow {\log _2}\left| {x + 1} \right| + 2 = {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left| {x + 1} \right| + 2 = {\log _2}\left( {16 - {x^2}} \right)\\ \;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\log _2}4\left| {x + 1} \right| = {\log _2}\left( {16 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2} \end{array}\)

+ Với \(-1\((3) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 6(L) \end{array} \right.\)

+ Với \(-4\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 - \sqrt {24} \\ x = 2 + \sqrt {24} \left( L \right) \end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=2\) hoặc \(x=2\left( 1-\sqrt{6} \right)\), chọn B

Câu 3: Phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( 2-x \right)+{{\log }_{3}}x\) có bao nhiêu nghiệm

A. 1 nghiệm                    

B. 2 nghiệm                 

C. 3 nghiệm                 

D. Vô nghiệm

Chọn A.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện x > 0

Phương trình tương đương với \({{\log }_{3}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x} \right)=2x-{{x}^{2}}\)

Ta có \(2x-{{x}^{2}}=1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 1\)

Và \({{\log }_{3}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x} \right)={{\log }_{3}}\left( x+\frac{1}{x}+1 \right)={{\log }_{3}}\left( {{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}+3 \right)\ge {{\log }_{3}}3=1\)

Do đó \({\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{x}} \right) = 2x - {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ \sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Câu 4: Cho phương trình \(2{{\log }_{3}}\left( \operatorname{cotx} \right)={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\). Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2} \right)\)

A. 4                                

B. 3                              

C. 2                              

D. 1

Hướng dẫn giải:

Điều kiện \(\sin x>0,\cos x>0\). Đặt \(u={{\log }_{2}}\left( \cos x \right)\) khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} {\cot ^2}x = {3^u}\\ \cos x = {2^u} \end{array} \right.\)

Vì \({{\cot }^{2}}x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{1-{{\cos }^{2}}x}\) suy ra \(\frac{{{\left( {{2}^{u}} \right)}^{2}}}{1-{{\left( {{2}^{u}} \right)}^{2}}}={{3}^{u}}\Leftrightarrow f\left( u \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{u}}+{{4}^{u}}-1=0\)

\(f'\left( u \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{u}}\ln \left( \frac{4}{3} \right)+{{4}^{u}}\ln 4>0,\forall u\in \mathbb{R}\). Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra phương trình \(f\left( u \right)=0\) có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy \(f\left( -1 \right)=0\) suy ra \(\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \). Khi đó phương trình nằm trong khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2} \right)\) là \(x=\frac{\pi }{3},x=\frac{7\pi }{3}\). Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2} \right)\).

Chọn C.

Câu 5: Phương trình \(\sqrt{1+{{\log }_{9}}x}-\sqrt{3{{\log }_{9}}x}={{\log }_{3}}x-1\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 0                                

B. 1                              

C. 2                              

D. 3

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình: \(\sqrt{1+{{\log }_{9}}x}-\sqrt{3{{\log }_{9}}x}={{\log }_{3}}x-1\). Điều kiện xác định: x ≥ 1

\(\sqrt{1+{{\log }_{9}}x}-\sqrt{3{{\log }_{9}}x}={{\log }_{3}}x-1\) Û \(\sqrt{1+{{\log }_{9}}x}-\sqrt{3{{\log }_{9}}x}=2{{\log }_{9}}x-1\)

⇔ \(1-2{{\log }_{9}}x=\left( 2{{\log }_{9}}x-1 \right)\left( \sqrt{1+{{\log }_{9}}x}+3\sqrt{{{\log }_{9}}x} \right)\)Û \(\left( 2{{\log }_{9}}x-1 \right)\left( \sqrt{1+{{\log }_{9}}x}+3\sqrt{{{\log }_{9}}x}+1 \right)=0\)

⇔ \(2{{\log }_{9}}x=1\) vì: \(\sqrt{1+{{\log }_{9}}x}+\sqrt{3{{\log }_{9}}x}+1>0\)Û x = 3.

Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3.

Chọn B.

Câu 6: Tìm số nghiệm của phương trình: \({{\log }_{2x-1}}\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)+{{\log }_{x+1}}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=4\text{  }\left( 1 \right)\).

A. 0.                               

B. 1.                             

C. 2.                             

D. 3.

Hướng dẫn giải:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ x \ne 1 \end{array} \right.\). Phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right)}} + 2{\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) + {{\log }_{x + 1}}\left( {x + 1} \right)}}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right)}} + 2{\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right)}} + 2{\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 4{\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array}\)

Đặt \(t={{\log }_{x+1}}\left( 2x-1 \right)\), khi đó (3) viết thành:

\(\begin{array}{l} 2t + \frac{1}{t} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} {\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 1\\ {\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 = 2x - 1\\ \sqrt {x + 1} = 2x - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = \frac{5}{4} \end{array} \right. \end{array}\)

Chọn C.

Câu 7: Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2 \right)\) là

A. \(3.\)                           

B. \(2.\)                         

C. \(1.\)                        

D. \(4.\)

Chọn B.

ĐK: \(x\ne 0;\,\,x\ne \sqrt{2}\).

Đặt \(t={{x}^{2}}-\sqrt{2}x\)\(\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2=t+2\)

\(\Rightarrow {{\log }_{3}}\left| t \right|={{\log }_{5}}\left( t+2 \right)\).

Đặt \({{\log }_{3}}\left| t \right|={{\log }_{5}}\left( t+2 \right)=u\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}\left| t \right| = u\\ {\log _5}\left( {t + 2} \right) = u \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| t \right| = {3^u}\\ t + 2 = {5^u} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left| {{5}^{u}}-2 \right|={{3}^{u}}\)

Xét \(\left( 1 \right):{{5}^{u}}+{{3}^{u}}=2\)

Ta thấy \(u=0\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u=0\) là duy nhất.

Với \(u=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1=0\), phương trình này vô nghiệm.

Xét \(\left( 2 \right):{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{u}}+2{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{u}}=1\)

Ta thấy \(u=1\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u=1\) là duy nhất.

Với \(u=0\Rightarrow t=3\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-3=0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa \(x\ne 0;\,\,x\ne \sqrt{2}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số phương pháp giải phương trình logarit Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tổng hợp các công thức logarit quan trọng

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit

Chúc các em học tập tốt!