Lý thuyết và dạng toán có liên quan đến tập hợp

1. Tập hợp: (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa.

- Thường kí hiệu: \(A\), \(B\), …

* Để chỉ \(a\) là một phần tử của tập hợp \(A,\) ta viết \(a\in A\) (đọc là \(a\) thuộc \(A\)).

** Để chỉ \(a\) không phải là một phần tử của tập hợp \(A,\) ta viết \(a\notin A\) (đọc là \(a\) không thuộc \(A\)).

- Hai cách thường dùng để xác định một tập hợp:

* Liệt kê các phần tử của tập hợp.

** Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Chú ý: Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

2. Tập hợp rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: \(\varnothing \)

3. Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập \(A\) đều là phần tử của tập \(B\) thì ta nói \(A\) là một tập hợp con của B, viết là \(A\subset B\) ( đọc là \(A\) chứa trong \(B\)).

\(A\subset B\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)\)

Tính chất:

\(A\subset A\)với mọi tập \(A\)

\(A\subset B\)  và  \(B\subset C\) thì   \(A\subset C\)

\(\varnothing \subset A\) với mọi tập \(A\)

4. Tập hợp bằng nhau: \(A\subset B\) và \(B\subset A\) thì ta nói tập hợp \(A\) bằng tập hợp \(B\), viết là: \(A=B\).

\(A=B\Leftrightarrow (x\in A\Leftrightarrow x\in B)\)

Dạng 1. PHẦN TỬ - TẬP HỢP

Vd1: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “3 là số tự nhiên”?

A. \(3\subset \mathbb{N}.\)                  

B. \(3\in \mathbb{N}.\)

C. \(3<\mathbb{N}.\)                

D. \(3\le \mathbb{N}.\)

Lời giải

Chọn B: \(3\in \mathbb{N}.\)

Vd2: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “\(\sqrt{2}\) không phải là số hữu tỉ ”

A. \(\sqrt{2}\ne \mathbb{Q}.\)    

B. \(\sqrt{2}\not\subset \mathbb{Q}.\) 

C. \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.\)

D. \(\sqrt{2}\in \mathbb{Q}.\)

Lời giải

Chọn C: \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.\)

Vd3: Liệt kê các phần tử của các tập hợp:

a/. Tập \(A\) các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25:     

b/. \(B=\left\{ n\in \mathbb{N}|(n-1)(n+2)\le 15 \right\}\)                                           

c/. \(C=\left\{ x\in \mathbb{Z}|(x+1)(3{{x}^{2}}-10x+3)=0 \right\}\)                                            

d/. \(D=\left\{ 2k+1|k\in \mathbb{Z},\ |k|\,\le 2 \right\}\)                                            

Lời giải

a/. Cách 1: \(A\) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}.

Cách 2: Là bội của 3 và nhỏ hơn 25.

b/. Cách 1: \(B\) = {0; 1; 2; 3}

Cách 2: Bấm máy tính

c/. \(C\) = { – 1; 3}: Giải phương trình tích.

d/. \(D\) = {–3; –1; 1; 3; 5}:

Cách giải: Bấm máy tính biểu thức 2k+1. Nhập các giá trị của k \(\in \{-2;-1;\ 0;\ 1;\ 2\}\)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1. Cho \(A\) là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

A. \(A\in A.\)

B. \(\varnothing \in A.\)

C. \(A\subset A.\)           

D. \(A\in \left\{ A \right\}.\)

Câu 2. Cho x là một phần tử của tập hợp \(A.\) Xét các mệnh đề sau:

(I) \(x\in A.\)             

(II) \(\left\{ x \right\}\in A.\)                   

(III) \(x\subset A.\)           

(IV) \(\left\{ x \right\}\subset A.\)

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A. I và II.  

B. I và III.      

C. I và IV.          

D. II và IV.

Câu 3. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề \(A\ne \varnothing ?\)

A. \(\forall x,x\in A.\)

B. \(\exists x,x\in A.\)         

C. \(\exists x,x\notin A.\)       

D. \(\forall x,x\subset A.\)

Đáp án: 1C, 2C, 3B.

Dạng 2. XÁC ĐỊNH TẬP HỢP

Vd1: Hãy liệt kê các phần tử của tập \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| 2{{x}^{2}}-5x+3=0 \right. \right\}.\)

A. \(X=\left\{ 0 \right\}.\)                      

B. \(X=\left\{ 1 \right\}.\)

C. \(X=\left\{ \frac{3}{2} \right\}.\) 

D. \(X=\left\{ 1;\frac{3}{2} \right\}.\)

Lời giải

Chọn D: \(X=\left\{ 1;\frac{3}{2} \right\}.\)

Cách giải: Giải pt bậc hai 2x² – 5x + 3 = 0 ⇔ x = 1; x = 3/2.

Vd2: Tìm một tính chất đặc trưng cho các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a/. \(A=\{1;\,2;\,4;\,8;\,16\}\)

b/. \(B=\left\{ -\frac{1}{3};\,\frac{1}{9};\,-\frac{1}{27};\,\frac{1}{81} \right\}\)

Lời giải

a/. \(A=\{{{2}^{n}}|\ n\in \mathbb{N},\,n\le 4\}\)                           

b/. \(B=\left\{ {{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{n}}\left| n\in \mathbb{N},\ n<5 \right. \right\}\)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1. Cho tập \(X=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| \left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-7x+3 \right)=0 \right. \right\}.\) Tính tổng S các phần tử của tập X.

A. \(S=4.\)             

B. \(S=\frac{9}{2}.\)

C. \(S=5.\)               

D. \(S=6.\)

Câu 2. Cho tập \(X=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| \left( {{x}^{2}}-9 \right).\left[ {{x}^{2}}-\left( 1+\sqrt{2} \right)x+\sqrt{2} \right]=0 \right. \right\}.\) Hỏi tập X có bao nhiêu phần tử?

A. \(1.\)  

B. \(2.\)           

C. \(3.\)           

D. \(4.\)

Câu 3. Hãy liệt kê các phần tử của tập \(X=\left\{ x\in \mathbb{Q}\left| \left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\left( {{x}^{2}}-5 \right)=0 \right. \right\}.\)

A. \(X=\left\{ \sqrt{5};3 \right\}.\)

B. \(X=\left\{ -\sqrt{5};-2;\sqrt{5};3 \right\}.\)      

C. \(X=\left\{ -2;3 \right\}.\)

D. \(X=\left\{ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right\}.\)

Câu 4. Hãy liệt kê các phần tử của tập \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| {{x}^{2}}+x+1=0 \right. \right\}.\)

A. \(X=0.\)            

B. \(X=\left\{ 0 \right\}.\)

C. \(X=\varnothing .\)         

D. \(X=\left\{ \varnothing  \right\}.\)

Câu 5. Cho tập hợp \(A=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x\in \mathbb{N}\left| x \right.\) là ước chung của \(36\ \text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\ \text{120 }\!\!\}\!\!\text{ }\). Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\).

A. \(A=\left\{ 1;2;3;4;6;12 \right\}.\)  

B. \(A=\left\{ 1;2;4;6;8;12 \right\}.\)

C. \(A=\left\{ 2;4;6;8;10;12 \right\}.\)

D. \(A=\left\{ 1;36;120 \right\}.\)

Câu 6. Hỏi tập hợp \(A=\left\{ {{k}^{2}}+1\left| k\in \mathbb{Z},\ \left| k \right|\le 2 \right. \right\}\) có bao nhiêu phần tử?

A. 1.

B. 2. 

C. 3. 

D. 5.

Câu 7. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng?

A. \(A=\left\{ \varnothing  \right\}.\)

B. \(B=\left\{ x\in \mathbb{N}\left| \left( 3x-2 \right)\left( 3{{x}^{2}}+4x+1 \right)=0 \right. \right\}.\)

C. \(C=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| \left( 3x-2 \right)\left( 3{{x}^{2}}+4x+1 \right)=0 \right. \right\}.\)

D. \(D=\left\{ x\in \mathbb{Q}\left| \left( 3x-2 \right)\left( 3{{x}^{2}}+4x+1 \right)=0 \right. \right\}.\)

Câu 8. Cho tập \(M=\left\{ \left. \left( x;y \right) \right|x,y\in \mathbb{N} \right.\) và \(\left. x+y=1 \right\}.\) Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử ?

A. 0.  

B. 1.  

C. 2.

D. 4.

Đáp án: 1D, 2C, 3C, 4C, 5A, 6C, 7B, 8C.

Dạng 3. TẬP CON

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và dạng toán có liên quan đến tập hợp. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về các phép toán trên tập hợp

• Các tập hợp số và bài tập áp dụng

Chúc các em học tập tốt!