Lý thuyết và bài tập về Phương trình tổng quát của đường thẳng Toán 10

1. Véc tơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng.

a. Vectơ \(\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}\) và có giá vuông góc với đường thẳng d được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng d.

b. Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}\) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d.

c. Đường thẳng d có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)\) với \(a\ne 0\) thì có hệ số góc \(k=\frac{b}{a}.\)

Nhận xét:

+ Nếu \(\overrightarrow{n}\) là VTPT của đường thẳng d thì \(k\overrightarrow{n}\left( k\ne 0 \right)\) là VTPT của đường thẳng d.

+ Nếu \(\overrightarrow{u}\) là VTCP của đường thẳng d thì \(k\overrightarrow{u}\left( k\ne 0 \right)\) là VTCP của đường thẳng d.

(một đưởng thẳng có vô số VTPT và VTCP)

+ Nếu VTCP của d là \(\overrightarrow{n}=\left( A;B \right)\Rightarrow d\) có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( -B;A \right)\) (hoặc \(\overrightarrow{u}=\left( B;-A \right)\)) và ngược lại.

+ Nếu đường thẳng d có hệ số góc là k thì có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;k \right).\)

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d qua \(A\left( 1;2 \right)\) và \(B\left( -1 \right);3\) . Phát biểu nào sau đây là sai? A. VTPT của d là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;2 \right).\) B. VTCP của d là \(\overrightarrow{u}=\left( 2;-1 \right).\) C. Hệ số góc của đường thẳng d là 2. D. Hệ số góc của đường thẳng d là \(-\frac{1}{2}.\)

Lời giải:

Đường thẳng d có VTCP là \(\overrightarrow{AB}=\left( -2;1 \right)\)

\(\Rightarrow \) Hệ số góc của đường thẳng d là \(k=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \) C sai.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( A;B \right)\)

\(\Rightarrow \forall {M}'\left( x;y \right)\in d\), ta có \(\overrightarrow{M{M}'}\bot \overrightarrow{n}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{M{M}'}=0\Leftrightarrow \) \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)(1)

+ phương tình (1) gọi là phương trình đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và có \(VTCP\overrightarrow{n}=\left( A;B \right).\)

+Phương trình \(Ax+By+C=0\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}>0 \right)\) biểu thị một đường thẳng có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( A;B \right)\) và VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( -B;A \right).\)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua \(M\left( 1;2 \right)\) và có hệ số góc k = -2 là: 2x – y =0. B. 2x + y – 4=0. C. 2x + y = 0. D. 2x + y + 4 =0

Lời giải:

Cách 1:

+ Đường thẳng d có hệ số góc k = -2 \(\Rightarrow VTCP \overrightarrow{u}=\left( 1;-2 \right)\Rightarrow VTCP\text{ }\overrightarrow{n}=\left( 2;1 \right)\)

+ Đường thẳng d đi qua M (2; 1) và có VTPT \(\overrightarrow{n}=\left( 2;1 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d là: \(2\left( x-1 \right)+1\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y-4=0\)

Cách 2:

+ Bước 1: Kiểm tra đường thẳng qua M (1;2), loại phương án C,D.

+ Bước 2: Kiểm tra phương án A: \(d=2x-y=0\Rightarrow y=2x\Rightarrow \) hệ số góc k = 2(loại)

Vậy đáp án B đúng.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d:3x-y-6=0 là đường thẳng A. đi qua \(M\left( 0;-6 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 3;-1 \right)\) B. đi qua \(B\left( 0;-6 \right);\,\,C\left( -1;2 \right)\) C. đi qua \(D\left( 2;0 \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{n}=\left( 1;3 \right)\) D. qua N(2;0) và có hệ số góc là 3.

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng d đi qua \(N\left( 2;0 \right)\) và có hệ số góc là k=3 có phương trình là: \(y-0=3\left( x-2 \right)\Leftrightarrow 3x-y-6=0\)

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm \(A\left( 0;\,-1 \right), B\left( 3;\,0 \right)\). Phương trình đường thẳng AB là A. x-3y+1=0 B. x+3y+3=0 C. x-3y-3=0 D. 3x+y+1=0

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;\,1 \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Nên \(\overrightarrow{n}=\left( 1;\,-3 \right)\) là véctơ pháp tuyến của đường thẳng AB

Khi đó phương trình đường thẳng AB là \(x-3\left( y+1 \right)=0 \Leftrightarrow x-3y-3=0\)

Bài 3: Cho đường thẳng \(d:\,2x+3y-4=0\). Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của d? A. \(\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3 \right)\) B. \(\overrightarrow{n}=\left( 3;\,2 \right)\) C. \(\overrightarrow{n}=\left( 3;\,-2 \right)\) D. \(\overrightarrow{n}=\left( -3;\,-2 \right)\)

Lời giải

Chọn A.

d:2x+3y-4=0 có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3 \right)\).

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A(-1;2) và song song với \(\Delta :y=5x+2\) có phương trình là: A. y = 5x -3. B. y = 3x + 5. C. y= -7x -5. D. y = 5x +7.

Lời giải:

Chọn D

Đường thẳng d đi qua A(-1;2) và có hệ số góc k = 5

\(\Rightarrow d:y=5\left[ x-\left( -1 \right) \right]+2\Leftrightarrow y=5x+7.\)

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d:2x+3y-4=0. Điểm \(M\in d\) thì tọa độ có dạng A. \(M\left( m;-2m+4 \right).\) B. \(M\left( -3m+4;m \right).\) C. \(M\left( 2+3m;-2m \right).\) D. \(M\left( 0;2m+3m-4 \right).\)

Lời giải:

Chọn C.

Đường thẳng d: 2x + 3y – 4 = 0. Chọn \(M\left( 2;0 \right)\in d\)

\(\Rightarrow d\) đi qua M(2;0) và có VTPT \(\overrightarrow{n}=\left( 2;3 \right)\Rightarrow VTCP\text{ }\overrightarrow{u}=\left( 3;-2 \right)\)

\(\Rightarrow d:\left\{ \begin{align} & x=2+3t \\ & y=-2t \\ \end{align} \right.\) trong đó t là tham số.

\(\Rightarrow M\in d\Rightarrow M\left( 2+3t;-2t \right)\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Phương trình tổng quát của đường thẳng Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!