Để giúp các em học sinh có thêm nhiều tài liệu ôn luyện kiến thức và kĩ năng giải bài tập, HOC247 xin gửi đến Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó cấp tiểu học. Mời các em cùng tham khảo.
CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
1. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 2
1.1. Định nghĩa về hệ phương trình đối xứng loại 2
+ Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình khi ta thay đổi vai trò x; y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại.
1.2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\
f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
+ Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được \(\left( x-y \right)g\left( x;y \right)=0\)
+ Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm
+ Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm
2. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Bài 1: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\
{y^3} = 2y + x\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Lấy (1) – (2) ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
{x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Có \({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=\left( {{x}^{2}}+2.\frac{1}{2}xy+\frac{{{y}^{2}}}{4} \right)+\frac{3{{y}^{2}}}{4}-1\)
\(={{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}-1\ne 0\forall x;y\) nên phương trình \({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0\) vô nghiệm
Với x – y = 0 hay x = y thay vào phương trình (1) có:
\({x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 0\\
x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\
x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3
\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left( x;y \right)=\left( 0;0 \right);\left( x;y \right)=\left( \sqrt{3};\sqrt{3} \right);\left( x;y \right)=\left( -\sqrt{3};-\sqrt{3} \right)\)
Bài 2: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\
{y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lời giải:
Lấy (1) – (2) ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\
\Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
3x = 1 - 3y
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với x = y thay vào phương trình (1) có:
\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\
\Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\
\Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 0\\
x = - 1 \Rightarrow y = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với \(x=\frac{1-3y}{3}\) thay vào phương trình (2) có:
\({{\left( \frac{1-3y}{3} \right)}^{2}}-2{{y}^{2}}=2\left( \frac{1-3y}{3} \right)+y\)
Biến đổi phương trình suy ra phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (0;0) và (x; y) = (-1; - 1)
3. Bài tập tự luyện về phương trình đối xứng loại 2
Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:
1, \(\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} - xy = 3x\\
{x^2} - xy = 3y
\end{array} \right.\)
2, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 1 = 2y\\
{y^3} + 1 = 2x
\end{array} \right.\)
3, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\
{y^2} - 2{x^2} = 2y + x
\end{array} \right.\)
4, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}y + 2 = {y^2}\\
x{y^2} + 2 = {x^2}
\end{array} \right.\)
5, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right.\)
6, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 3x + 8y\\
{y^3} = 3y + 8x
\end{array} \right.\)
7, \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\
3{y^2} = {y^2} + 2{x^2}
\end{array} \right.\)
8, \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\
2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y}
\end{array} \right.\)
9, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 3x + 2y\\
{y^2} = 3y + 2x
\end{array} \right.\)
10, \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\
2{y^2} = \frac{1}{x} + x
\end{array} \right.\)
Trên đây là một phần nội dung tài liệu Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:
- Dạng toán ôn thi vào lớp 10 Rút gọn biểu thức Toán 9
- Chuyên đề Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9
Chúc các em học tập tốt !
![](images/graphics/icon-like2.png)
Tài liệu liên quan
Tư liệu nổi bật tuần
- Xem thêm
![](images/graphics/blank.gif)