Giải bài 87 tr 172 SBTToán lớp 9 Tập 1
Cho hai đường tròn \((O ; R)\) và \((O' ; R')\) tiếp xúc ngoài tại \(A ( R > R').\) Vẽ các đường kính \(AOB, AO'C.\) Dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(BC\) tại trung điểm \(K\) của \(BC.\)
\(a)\) Chứng minh rằng tứ giác \(BDCE\) là hình thoi.
\(b)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(EC\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(D, A, I\) thẳng hàng.
\(c)\) Chứng minh rằng \(KI\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Hướng dẫn giải
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
+) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
+) Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.
+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Vì đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\) nên \(O, A\) và \(O'\) thẳng hàng.
Trong đường tròn \((O)\) ta có: \( AB ⊥ DE\) tại \(K\) mà AB là đường kính và DE là dây cung
Suy ra: \(KD = KE\) ( đường kính vuông góc với dây cung)
Lại có: \(KB = KC (gt)\)
Suy ra tứ giác \(BDCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: \(BC ⊥ DE\)
Suy ra tứ giác \(BDCE\) là hình thoi.
\(b)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(D.\)
Suy ra: \(AD ⊥ BD\)
Tứ giác \(BDCE\) là hình thoi nên \(EC // BD\)
Suy ra: \(EC ⊥ AD\;\; (1)\)
Tam giác \(AIC\) nội tiếp trong đường tròn \((O')\) có \(AC\) là đường kính nên vuông tại \(I.\)
Suy ra: \(AI ⊥ CE\;\;(2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(AD\) trùng với \(AI\)
Vậy \(D, A, I\) thẳng hàng.
c) Tam giác \(DIE\) vuông tại \(I\) có \(IK\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên:
\(KI = KD = \displaystyle {1 \over 2}ED\) ( tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác \(IKD\) cân tại \(K\)
Suy ra: \(\widehat {KID} = \widehat {KDI}\) hay \(\widehat {KIA} = \widehat {KDA}\) \((3)\)
Ta có: \(O'A = O'I \) (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác \(O'IA\) cân tại \(O'\)
Suy ra: \(\widehat {O'AI} = \widehat {O'IA}\) ( tính chất tam giác cân)
Mà: \(\widehat {O'AI} = \widehat {KAD}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {O'IA} = \widehat {KAD}\) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {KIO'}=\widehat {KIA}+\widehat {AIO'}\)\(=\widehat {KDA}+\widehat {KAD}\)
Xét tam giác KAD vuông tại K có: \(\widehat {KDA}+\widehat {KAD}=90^0\)
Suy ra \(\widehat {KIO'} = 90^\circ \) hay \(KI ⊥ O'I\) tại \(I.\)
Vậy \(KI\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)
-- Mod Toán 9 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Tính
A=( cos 36o - sin 36o) . (cos 37o - sin 38o) . (cos 42o - sin 48o)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính các góc ABC và BCD, có góc A = D = 90o, AD = 30cm, CD=18cm và BC = 20cm
bởi Nguyễn Trà Long 26/01/2019
1/ Cho hình thang ABCD có góc A = D = 90o, AD = 30cm, CD=18cm và BC = 20cm
a) Tính các góc ABC và BCD
b) Tính các góc DAC,ADB và các đường chéo AC,BD
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính BC, HA, HC, có AB=5 cm, AC=12cm
bởi Trieu Tien 26/01/2019
Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH có AB=5 cm, AC=12cm.
A) tính BC, HA, HC
B) Tính ^B, ^C
C) kẽ HD vuông với AB, HE vuông với AC. Tính chu vi và đt ADHE
D) vẽ phân giác AI. Tính IA, IB, IC
* Lưu ý: mk cần giúp câu D, mấy câu kia mk làm đc.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Bài 1: Cho tam giác ABC có AC=8√3,BC=15cm, góc ACB =30 độ. Tính độ dài cạnh AB
Bài 2: Cho tam giác ABC đường cao AH biết AB/AC=3/5, AH=30. Tính độ dài đoạn HB,HC
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Chứng minh BC^2 = AB^2+AC^2 -AB.AC
bởi bich thu 26/01/2019
cho tam giác ABC có góc A=60 độ .Chứng minh :BC2 = AB2+AC2-AB.AC
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng 1/CD^2=1/CE^2+1/CB^2
bởi Sam sung 26/01/2019
Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB, AD \(\perp\)CD và AD = CD. Đường cao BH. Trên tia đối tia DA lấy điểm K sao cho DK=CH. E là giao điểm của AD và BC.CMR:
a, BC\(\perp\)CK
b,\(\dfrac{1}{CD^2}\)=\(\dfrac{1}{CE^2}\)+\(\dfrac{1}{CB^2}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
góc ở đỉnh của một tam giác cân bằng 78 độ , cạnh đáy dài 28,5cm. Tính cạnh bên và diện tích tam giác
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính cotg B+ cotg C, có BC = 2AH
bởi Mai Rừng 26/01/2019
Cho \(\Delta ABC\) có BC = 2AH ( H là đường cao hạ từ A). Tính cotg B+ cotg C
Theo dõi (0) 1 Trả lời