Giải bài 88 tr 172 SBT Toán lớp 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB.\) Vẽ đường tròn \((M ; MH).\) Kẻ các tiếp tuyến \(AC, BD\) với đường tròn tâm \(M ( C\) và \(D\) là các tiếp điểm khác \(H).\)
\(a)\) Chứng minh rằng ba điểm \(C, M, D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
\(b)\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \((O)\) thì tổng \(AC + BD\) không đổi.
\(c)\) Giả sử \(CD\) và \(AB\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng tích \(OH.OI\) không đổi.
Hướng dẫn giải chi tiết
Hướng dẫn giải
Sử dụng kiến thức:
\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\(*\)) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Trong đường tròn \((M; MH),\) có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \( MA\) là tia phân giác của góc \(HMC\) và \(AC=AH\)
Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)
Trong đường tròn \((M; MH),\) có BD và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(MB\) là tia phân giác của góc \(HMD\) và \(BD=BH\)
Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)
Tam giác \(ABM\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(M\)
Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)
\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ = 180^\circ \)
Vậy \(C, M, D\) thẳng hàng.
\(b)\) Theo câu a) ta có: \(AC = AH\) và \(BD = BH\)
Khi \(M\) thay đổi trên nửa đường tròn tâm \(O\) thì \(AC\) luôn bằng \(AH\) và \(BD\) luôn bằng \(BH.\)
Suy ra: \(AC + BD = AH + BH = AB\) không đổi
\(c)\) Ta có: \(AC ⊥ CD \) và \( BD ⊥ CD\) ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: \(AC // BD\) hay tứ giác \(ABDC\) là hình thang
Mà \(OA = OB \) (= bán kính \((O)\))
Và \(MC = MD\) (= bán kính \((M)\))
Suy ra \(OM\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)
Khi đó \(OM // AC.\) Suy ra: \(OM ⊥ CD\) hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)
Tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\) có \(MH ⊥ OI.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(OM^2= OH.OI\)
Mà OM là bán kính đường tròn (O) nên OM có độ dài không đổi.
Suy ra: \(OH.OI \) không đổi.
-- Mod Toán 9 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Tính AH, BC, CH biết AB =4cm, AC=3cm
bởi trang lan 28/01/2019
cho tam giac ABC vuong tai a. Biet AB =4cm . AC=3cm,duong cao AH.
a) Tính AH.BC,CH.
b)Ke HI vuong goc voi AB , I\(\varepsilon\)AN , Hk vuong goc voi AC ( K\(\varepsilon\)ÁC) . Chứng minh AI.AB=AK.AC và góc AIK =góc AOB
c) chứng minh BC\(^2\)=3AH\(^2\)+CK\(^2\)+BI\(^2\)
d) kẻ CE song song voi AI ( E\(\varepsilon\) AB), EF\(\perp\)BC(F\(\varepsilon\)BC) . Tính EF
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng MA′/GA′ + MB′/GB ′ + MC′/GC′ = 3
bởi Thùy Nguyễn 28/01/2019
Cho tam giác ABC nhọn, G là trọng tâm, M là điểm nằm trong tam giác \(\left(M\ne G\right)\) . Đường thẳng MG cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại C', A', B'. Chứng minh rằng : \(\dfrac{MA'}{GA'}+\dfrac{MB'}{GB'}+\dfrac{MC'}{GC'}=3\) .
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Dùng bảng lượng giác tính diện tích tam giác, có BC = 24cm, góc B = 60^o , gócC = 40^o
bởi Bo bo 28/01/2019
Tam giác ABC có BC = 24cm, \(\widehat{B}=60^o,\widehat{C}=40^o\). Dùng bảng lượng giác tính diện tích tam giác
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tam giác ABC có AB = 24cm, \(\widehat{B}=55^o,\widehat{C}=25^o\). Dùng bảng lượng giác tính độ dài AC
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
chứng minh các biểu thức cosα/1−sinα=1+sinα/cosα
bởi Nguyễn Thị An 28/01/2019
chứng minh các biểu thức sau :
a) \(\dfrac{cos\alpha}{1-sin\alpha}=\dfrac{1+sin\alpha}{cos\alpha}\)b) \(\dfrac{\left(sin\alpha+cos\alpha\right)^2-\left(sin\alpha-cos\alpha\right)^2}{sin\alpha+cos\alpha}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh đẳng thức sin^4x − cos^4x = 1 − 2 cos^2x
bởi Lê Chí Thiện 28/01/2019
cho \(0^0< x\) <\(90^0\) . chứng minh đẳng thức
\(\sin^4x-\cos^4x\) = \(1-2\cos^2x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính DE, biết BD=12cm, DE=7,2cm
bởi Trần Hoàng Mai 29/01/2019
cho hình thang ABCD. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Vẽ hình bình hành ABEC. Biết BD=12cm; DE=7,2cm .
a) tính DE
b) SABCD
Khó 1 cách dã man :(
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính AB có góc B=45 độ, AC=6cm
bởi Phạm Hoàng Thị Trà Giang 29/01/2019
Cho Tam giác ABC cân tại C, góc B=45 độ, AC=6cm.Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD=9cm. Từ D hạ DE vuông góc với AC. a) tính AB.
b) tính CE
Theo dõi (0) 1 Trả lời