Bài tập 71 tr 113 sách BT Toán lớp 9 Tập 2
Trong một tam giác đều \(ABC\; (h.13),\) vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng \(a,\) tính diện tích hình hoa thị gạch sọc.
Hướng dẫn giải chi tiết
Hướng dẫn giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Diện tích hình quạt tròn bán kính \(R,\) cung \(n^\circ\) được tính theo công thức: \(S=\dfrac{\pi R^2n}{360}\).
Lời giải chi tiết
Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích \(3\) hình viên phân trừ diện tích tam giác đều \(ABC.\)
Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)
\( \Rightarrow OA = OB = OC\)
Vì \(∆ABC\) đều nên \(AO,\) \(BO,\) \(CO\) là phân giác của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)
\(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \displaystyle {{{{60}^\circ}} \over 2} = {30^\circ}\)
\(\widehat {AOC} = {180^\circ} - \left( {{{30}^\circ} + {{30}^\circ}} \right) = {120^\circ}\)
Trong tam giác \(O’HA\) có \(\widehat {O'HA} = {90^\circ}\), \(\widehat {HO'A} = {60^\circ}\)
\(AH = R.\sin \widehat {HO'A}\)\( = R. \sin 60^\circ= \displaystyle {{R\sqrt 3 } \over 2}\)
\(AC=2AH=R\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow R =\displaystyle {\displaystyle {AC} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
\(S_{quạt}=\displaystyle {{\pi \displaystyle {{\left( {{\displaystyle {a\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.120} \over {360}}\)
\(=\displaystyle {{\pi \displaystyle {{\displaystyle {a^2}} \over 3}} \over 3} = {{\pi {a^2}} \over 9}\) (đơn vị diện tích)
\(∆O'HA\) có \(\widehat {O'HA} = {90^\circ}\); \(\widehat {HO'A} = {60^\circ}\)
\(O'A=R.\cos {60^\circ} = \displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 3}.{1 \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)
\(S_{\Delta O'CA}=\displaystyle {1 \over 2}O'H.AC \)\(\displaystyle = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 6}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) (đơn vị diện tích)
Diện tích hình viên phân:
\(S_{vp}=S_{quạt}-S_{\Delta O'CA}\) \(= \displaystyle {{\pi {a^2}} \over 9} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}}\)
Diện tích tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a:\) \(S_{ABC}= \dfrac{a^2\sqrt 3 } {4}\) (đơn vị diện tích)
Diện tích hình hoa thị là:
\(S=3S_{vp}-S_{ABC}\)\(= \displaystyle 3.{{4\pi {R^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)
\(= \displaystyle {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} - {{3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)
\(= \displaystyle {{4\pi {a^2} - 6{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{{a^2}} \over 6}\left( {2\pi - 3\sqrt 3 } \right)\) (đơn vị diện tích)
-- Mod Toán 9 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Nêu cách vẽ hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1CM
bởi bach dang
08/10/2018
a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ.
b) Tính diện tích miền gạch sọc.