Bài tập 4.1 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết

\(a)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle {{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\).

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b \ \) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = - \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{5a - 2b = \displaystyle{8 \over 3}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = - 3} \cr 
{15a - 6b = 8} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = - 15} \cr 
{30a - 12b = 16} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = - 31} \cr 
{6a + 10b = - 3} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{6a + 10.\displaystyle\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 3} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = -\displaystyle {1 \over 2}} \cr 
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (3; -2)\).

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b\) 

\((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - \displaystyle{{14} \over 5}} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = -\displaystyle {{14} \over 5}} \cr 
{6a + 4b = - \displaystyle{{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = - 8} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{  3.(-1) + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}  \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y - 1 = - 1} \cr 
{x - y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{2 - y = 4} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (2; -2).\)

-- Mod Toán 9 HỌC247