Bài tập 14 trang 72 SGK Toán 9 Tập 2

Câu a

Vẽ đường tròn tâm O, dây cung AB.

Gọi I là điểm chính giữa của cung AB.

Ta có: cung AI= cung BI

=>  sđcung AI= sđcung BI

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Gọi OI ∩ AB = H.

ΔAOH và ΔBOH có: AO = OB, \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) ; OH chung

⇒ ΔAOH = ΔBOH (c-g-c)

⇒ AH = BH (hai cạnh tương ứng)

⇒ OI đi qua trung điểm H của AB.

+ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.

Mệnh đề sai

Ví dụ: Chọn dây cung AB là một đường kính của (O) (AB đi qua O). Khi đó, tồn tại đường kính CD đi qua O là trung điểm của AB nhưng C,D không phải là điểm chính giữa cung AB ( hình vẽ)

Mệnh đề đảo chỉ đúng khi dây cung AB không phải đường kính.

Câu b

 

+ Cho đường tròn (O); dây cung AB ;

I là điểm chính giữa cung AB , H = OI ∩ AB.

⇒ ΔAOH = ΔBOH (cm phần a).

\( \Rightarrow \widehat {AHO} = \widehat {BHO}\)

Mà \(\widehat {AHO}; \widehat {BHO}\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow \widehat {AHO} = \widehat {BHO} = {90^0}\)

⇒ OH ⊥ AB.

Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

+ Cho đường tròn (O); dây cung AB.

Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB (H ∈ AB) cắt đường tròn tại I.

Ta có: ΔABO cân tại O (vì AO = OB = R).

⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác

\( \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}\)

hay \(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\)

\( \Rightarrow\) cung AI = cung BI

\( \Rightarrow\)  I là điểm chính giữa của cung AB

Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.

-- Mod Toán 9 HỌC247