Giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức Bài 23: Phép cộng phép trừ phân thức đại số

Đề bài đưa ra: Hãy rút gọn biểu thức:

\(P = \frac{x}{{x + 1}} - \left[ {\left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) - \frac{1}{{x - 1}}} \right]\)

Vuông: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả P = 0.

Tròn: Làm thế nào mà Vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng:

\(\frac{{2x + y}}{{x - y}} + \frac{{ - x + 3y}}{{x - y}}\)

Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho?

Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho?

Tính các tổng sau:

a) \(\frac{{3{\rm{x}} - 1}}{{xy}} + \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{xy}}\)

b) \(\frac{{3{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{ - 3{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Quy đồng mẫu hai phân thức: \(\frac{1}{x};\frac{{ - 1}}{y}\)?

Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả phép cộng \(\frac{1}{x} + \frac{{ - 1}}{y}\)?

Tính tổng: \(\frac{5}{{2{{\rm{x}}^2}\left( {6{\rm{x}} + y} \right)}} + \frac{3}{{5{\rm{x}}y\left( {6{\rm{x}} + y} \right)}}\)?

Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính: \(\frac{{x - y}}{{x + 1}} - \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}}\)?

Quy đồng mẫu thức của hai phân thức \(\frac{1}{{x + 1}}\)và \(\frac{1}{x}\); trừ các tử thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\)?

Thực hiện các phép tính:

a) \(\frac{{3 - 2{\rm{x}}}}{{x - 1}} - \frac{{2 + 5{\rm{x}}}}{{x - 1}}\)

b) \(\frac{1}{{4{{\rm{x}}^2}y}} - \frac{1}{{6{\rm{x}}{y^2}}}\)

Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}\)?

Đề bài đưa ra: Hãy rút gọn biểu thức:

\(P = \frac{x}{{x + 1}} - \left[ {\left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) - \frac{1}{{x - 1}}} \right]\)

Vuông: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả P = 0.

Tròn: Làm thế nào mà Vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?

Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20km, xe chạy trong thành thành phố với vận tốc x(km/h) (x>0). Trên 50km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê

a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc.

b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.

Thực hiện các phép tính:

a) \(\frac{{{x^2} - 3{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2}}} + \frac{{5{\rm{x}} - 1 - {x^2}}}{{2{{\rm{x}}^2}}}\)

b) \(\frac{y}{{x - y}} + \frac{x}{{x + y}}\)

c) \(\frac{x}{{2{\rm{x}} - 6}} + \frac{y}{{2{\rm{x}}\left( {3 - x} \right)}}\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{{5 - 3{\rm{x}}}}{{x + 1}} - \frac{{ - 2 + 5{\rm{x}}}}{{x + 1}}\)

b) \(\frac{x}{{x - y}} - \frac{y}{{x + y}}\)

c)\(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{{2 + 3{\rm{x}}}}{{{x^3} + 1}}\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}} - \frac{1}{x} - \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 2}}\)

b) \(\frac{{2{\rm{x}} - 1}}{x} + \frac{{1 - x}}{{2{\rm{x}} + 1}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} + \frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{x} + \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} - \frac{3}{{x + 3}}\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{x^2} - 4}} + \frac{x}{{2 - x}} + \frac{{4 - x}}{{5{\rm{x}} - 10}}\)

b) \(\frac{x}{{{x^2} + 1}} - \left( {\frac{3}{{x + 6}} + \frac{{x - 2}}{{x + 4}}} \right) + \left[ {\frac{3}{{x + 6}} - \left( {\frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{{x - 2}}{{x + 4}}} \right)} \right]\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{{x - y}}{{xy}} + \frac{{y - z}}{{yz}} + \frac{{z - x}}{{z{\rm{x}}}}\)

b) \(\frac{x}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} + \frac{y}{{{y^2} - {x^2}}}\)

Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h).

a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy?

b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2km/h?

Tính các tổng sau:

a) $\frac{x^2-2}{x{\left(x-1\right)}^2}+\frac{2-x}{x{\left(x-1\right)}^2}$;

b) $\frac{1-2x}{6x^{3}y}+\frac{3+2x}{6x^{3}y}+\frac{2x-4}{6x^{3}y}$.

Tính các hiệu sau:

a) $\frac{2x^2-1}{x^2-3x}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2-3x}$;

b) $\frac{1}{2x-3}-\frac{13}{\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)}$.

Tính:

a) $\frac{5x+y^2}{x^{2}y}-\frac{5y-x^2}{x{y}^2}$;

b) $\frac{y}{2x^2-xy}+\frac{4x}{y^2-2xy}$.

Tính các tổng sau:

a) $\frac{5}{6x^{2}y}+\frac{7}{12x{y}^2}+\frac{11}{18xy}$;

b) $\frac{x^3+2x}{x^3+1}+\frac{2x}{x^2-x+1}+\frac{1}{x+1}$.

a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{x^4}{1-x}+x^3+x^2+x+1$.

b) Tính giá trị của P tại x = –99.

a) Rút gọn biểu thức: $Q=\frac{18}{\left(x-3\right)\left(x^2-9\right)}-\frac{3}{x^2-6x+9}-\frac{x}{x^2-9}$.

b) Tính giá trị của Q tại x = 103.

a) Chứng minh rằng nếu a, b, c ≠ 0, a + b + c = 0 thì $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0$.

b) Chứng minh rằng nếu x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x thì:

$\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}=0$.

Cho biểu thức $P=\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$. Chứng minh rằng x, y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện 3y – x = 6 thì P có giá trị không đổi?

Cho biểu thức: $P=\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}$ (x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1).

a) Rút gọn phân thức $\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}$.

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P=a+\frac{b}{x-3}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{x^2+2x}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x^2+x+1}$ (x ≠ 0, x ≠ 1).

b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của của x để P cũng nhận giá trị nguyên.

Một tàu chở hàng đi từ cảng A đến cảng B cách nhau 900 km với vận tốc không đổi là x (km/h). Khi đi được $\frac{1}{3}$ quãng đường thì một động cơ của tàu bị hỏng nên tàu chỉ còn chạy với vận tốc 12 km/h trong suốt 3 giờ tàu sửa chữa động cơ. Để về cảng B không muộn hơn dự định, tàu phải tăng vận tốc thêm 5 km/h. Viết phân thức tính thời gian thực tế để tàu đi từ cảng A đến cảng B?

Cho hai hình hộp chữ nhật bằng nhau cùng có thể tích 200 cm³ và một hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm³ sắp xếp như trong hình bên (độ dài các cạnh hình hộp được tính bằng đơn vị cm). Viết các phân thức biểu thị độ dài (tính bằng cm) của các đoạn thẳng AC và DE?