Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

1. Lập phương của một tổng: \({(A + B)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

2. Lập phương của một hiệu: \({(A - B)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)  

Việc chứng minh các hằng đẳng thức này cũng dựa trên việc nhân đa thức với đa thức.

Chẳng hạn như ở hằng đẳng thức lâp phương của một tổng ta có thể chứng minh như sau :

\(\begin{array}{l} {(A + B)^3} = (A + B){(A + B)^2}\\ = (A + B)({A^2} + 2AB + {B^2})\\ = {A^3} + 2{A^2}B + A{B^2} + {A^2}B + 2A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}\)

chúng ta cũng chứng minh tương tự cho hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Bài 1. Tính nhanh:

a. \({97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\)

b. \({16^3} - {3.16^2}.6 + {3.16.6^2} - {6^3}\) 

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} {97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\\ = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000 \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} {16^3} - {3.16^2}6 + {3.16.6^2} - {6^3}\\ = {\left( {16 - 6} \right)^3} = {10^3} = 1000 \end{array}\)

Bài 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + 1} \right)^3}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + 1} \right)^3}\\ = {\left[ {(x + y) + 1} \right]^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2} + 3(x + y) + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3x + 3y + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 3x + 3y + 1 \end{array}\)

Bài 3. Chứng minh rằng: \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\)

Hướng dẫn:

Ta có thể biến đổi vế phải như sau

\(\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xy + xz + {y^2} + yz)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xyz + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}y + {x^2}z + {y^2}x + xyz)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 6xyz + 3x{z^2} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2}\\ = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {3{x^2}z + 6xyz + 3{y^2}z} \right) + \left( {3x{z^2} + 3y{z^2}} \right) + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3({x^2} + 2xy + {y^2})z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2}z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} \end{array}\)

Bên cạnh đó các em cũng có thể biến đổi từ vế trái thành vế phải.

Qua bài giảng   Những hằng đẳng thức đáng nhớ  này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Ghi nhớ được hằng đẳng thức lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu
• Vận dụng được các hằng đẳng thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Rút gọn đa thức \(9{x^2} - 2x + \frac{1}{9}\) ta được két quả nào sau đây?

  • A. \({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)
  • B. \({\left( {3x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)
  • C. \({\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)
  • D. \(- {\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)

Câu 2-4: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 

Bài tập 26 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 27 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 28 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 29 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!