Hỏi đáp về Nguyên hàm

Tính nguyên hàm sau: \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx} \).

Tính nguyên hàm sau: \(\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\).

Tính nguyên hàm sau: \(\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)

Tính nguyên hàm sau: \(\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \).

Tính nguyên hàm sau: \(\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx\)

Tính nguyên hàm sau: \(\int {x{{(3 - x)}^5}dx} \).

Tính:  \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \).

Tính: \(\int {x\ln (1 - x)dx} \).

Tính: \(\int {x{e^{ - x}}dx} \).

Tính: \(\int {(1 - 2x){e^x}} dx\).

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)   (đặt \(t = \cos x\)).

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx\)  (đặt \(t = \ln x\))

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)  (đặt \(t = \dfrac{1}{x}\) ).

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \)).

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\)   (đặt \(t = 1 + {x^2}\)).

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\)  (đặt \(t = {x^2}\)).

Tính nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx\)  với \(x >  - 1\) (đặt \(t = 1 + {x^3}\)).

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f(x) = \dfrac{1}{{{{(2 - x)}^2}}}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f(x) = {(x - 9)^4}\).

Chứng minh rằng các hàm số \(F(x)\) và \(G(x)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số: \(F(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)  và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\). 

Chứng minh rằng các hàm số \(F(x)\) và \(G(x)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số: \(F(x) = \dfrac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}\)  và \(G(x) = \dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}\).

Hãy kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại: \(f(x) = {x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}\)  và \(g(x) = (2x - 1){e^{\dfrac{1}{x}}}\).

Hãy kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại: \(f(x) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \)