Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Hướng dẫn giải chi tiết
.jpg)
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì A′ cách đều ba đỉnh A, B, C nên A′ nằm trên trục của ΔABC, do đó A′O ⊥ mp(ABC)
AO là hình chiếu của AA′ trên mp (ABC). Do đó \(widehat {A'AO} = {60^0}\)
Trong tam giác vuông A′OA ta có:
\(\begin{array}{l}
\tan {60^0} = \frac{{A'O}}{{AO}}\\
\Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0}\\
= \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = a
\end{array}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là
\(\begin{array}{l}
V = B.h = {S_{ABC}}.A'O\\
= \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)
b) Vì BC ⊥ AO ⇒ BC ⊥ (AOA′) ⇒> BC ⊥ AA′ hay BC ⊥ BB′ .
Vậy BCC′B′ là hình chữ nhật.
c) Gọi H là trung điểm của AB. Ta có AB ⊥ (A′HO) ⇒ A′H ⊥ AB
Trong tam giác vuông A′OH, ta có
\(\begin{array}{l}
A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2}\\
= {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{12}}\\
\Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}
\end{array}\)
Diện tích hình bình hành ABB′A′:
\({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}\frac{{\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)
Tương tự \({S_{ACC'A'}} = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình chữ nhật BCC′B′ là:
\(\begin{array}{l}
{S_{BCC\prime B\prime }} = BB\prime .BC = AA\prime .BC\\
= \frac{{AO}}{{cos{{60}^0}}}.a = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là
\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = 2{S_{AA\prime B\prime B}} + {S_{BCC\prime B\prime }}\\
= \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2{a^2}\sqrt {13} }}{3}\\
= \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{3}\left( {\sqrt {13} + 2} \right)
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’
bởi Quynh Nhu
06/02/2017
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Theo dõi (0) 6 Trả lời -
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DH và SC
bởi Chai Chai
07/02/2017
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DH và SC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AM theo a
bởi Nguyễn Thị Thanh
07/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 30o. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AM theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, SA \(\perp\) mp (ABCD), SC tạo với mp (ABCD) một góc 450 và \(SC=2a\sqrt{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mp (SCD) theo a .
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
bởi An Nhiên
08/02/2017
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a
bởi Co Nan
06/02/2017
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C theo a và côsin của góc giữa hai đường thẳng A'M, AB
bởi Naru to
08/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 450 , hình chiếu của A lên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm của A'B'. Gọi M là trung điểm của B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C theo a và côsin của góc giữa hai đường thẳng A'M, AB'.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính theo a thể tích khối hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD’, BD.
bởi Trịnh Lan Trinh
07/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc\(\widehat{ ACB} = 60 ^0\), mặt phẳng (A’BD) tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích khối hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD’, BD.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a
bởi Hoa Lan
07/02/2017
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC= a, trên cạnh BC lấy điểm H sao cho \(\overline{BH}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\), SH vuông góc với mp(ABC), góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a và AD = 2a
bởi thu hảo
07/02/2017
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a và AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là trung điểm H của đoạn AB. Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HC và SD
bởi Nguyễn Thị Thu Huệ
08/02/2017
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. H là trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên \(SA = \frac{a\sqrt{5}}{2}\). Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HC và SD.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AE và SC
bởi Huong Duong
08/02/2017
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy là 60o; gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AE và SC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A với AB = a; \(AC = 2a\sqrt{2}\)
bởi Bánh Mì
07/02/2017
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A với AB = a; \(AC = 2a\sqrt{2}\). HÌnh chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC thỏa mãn HB = 2HC, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a
bởi Nguyễn Hoài Thương
07/02/2017
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. SC tạo với đáy một góc 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB với AC.
bởi Lê Minh
07/02/2017
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh AC a = 2, góc \(\widehat{BAC}=30^0\), SA vuông góc với đáy và SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB với AC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC theo a.
bởi Thiên Mai
08/02/2017
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho AB = 2a, AD > a. SA = BC = a, CD = \(2a\sqrt{5}\). Gọi H là điểm nằm trên đoạn AD sao cho AH = a. Tính thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC)
bởi Lê Nguyễn Hạ Anh
07/02/2017
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = AB = a, AC = a và \(\widehat{ASC} = \widehat{ABC} = 90^0\). Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi M là trung điểm của CD, N là hình chiếu vuông góc của D trên SM. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD
bởi thúy ngọc
07/02/2017
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC \(=a\sqrt{3}\)
bởi Tay Thu
08/02/2017
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC \(=a\sqrt{3}\) và mặt bên BB'C'C là hình vuông. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA', BC'.
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a
bởi Tay Thu
06/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB=2a,AD=a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = \(\frac{a}{2}\), cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 60
bởi Lê Viết Khánh
07/02/2017
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC)
bởi Nguyễn Ngọc Sơn
08/02/2017
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC = 1200. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh A’B’, góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC).
Theo dõi (0) 1 Trả lời
