Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian \(t\), \(s=s(t)\) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ \(t_{0}\) đến \(t\)

b Giới hạn \(\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}\) cho ta biết điều gì?

Điện lượng \(Q\) truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian \(t\), có dạng \(Q = Q(t)\).

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ \(t_{0}\) đến \(t\).

b) Giới hạn \(\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}\) cho ta biết điều gì?

Tính đạo hàm của hàm số \(y= -x^{2}+2x+1\) tại điểm \(x_{0}=-1\)

Tính đạo hàm \(f(x_{0})\) tại điểm \(x_{0}\) bất kì trong các trường hợp sau:

a) \(f(x)=c\) (c là hằng số);

b) \(f(x) = x\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y=x^{2}+1\);

b) \(y = kx + c\) (với k, c là các hằng số).

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị (C) và điểm \(P(x_{0};f(x_{0}))\in (C)\). Xét điểm \(Q(x; f (x))\) thay đổi trên (C) với \(x\neq x_{0}\)

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P,Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc KPQ của cát tuyến PQ.

b) Khi \(x\rightarrow  x_{0}\) thì vị trí của điểm \(Q(x; f(x))\) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà K_PQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y=x^{2} \) tại điểm có hoành độ \(x_{0}=\frac{1}{2}\)

Cho hàm số \(y=x^{2}\) có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ \(x_{0}=1\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \((P): y=-2x^{2}\) tại điểm có hoành độ \( x_{0}=-1\)       

Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá \(10^{\circ}\) (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^{2} – x \) tại \(x_{0} = 1\);

b) \(y = -x^{3}\) tại \(x_{0} = -1\).

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \( y = kx^{2} + c\) (với k, c là các hằng số);

b) \(y = x^{3}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y=-x^{2}+4x \), biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ \(x_{0} = 1\);

b) Tiếp điểm có tung độ \(y_{0} = 0\).

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức \(h=19,6t – 4,9t^{2}\). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên \(L_{1}\), và đoạn dốc xuống \(L_{2}\), là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, \(L_{1}\) và  \(L_{2}\) phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là \(y = ax^{2} + bx + c\), trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^2} + 3x - 1\) tại điểm \({x_0} = 1\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) và \(f'\left( 1 \right)\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2},}&{x \ge 0}\\{1 - 2x\,\,\,\,,}&{x < 0}\end{array}} \right.\). Tính \(f'\left( 0 \right)\)?

Tính đạo hàm của hàm số:

a) \(y = a{x^2}\) (\(a\) là hằng số) tại điểm \({x_0}\) bất kì.

b) \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì, \({x_0} \ne 1\).

Tìm tọa độ điểm \(M\) trên đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 1\), biết hệ số góc của tiếp tuyển của đồ thị hàm số tại \(M\) bằng \(3\)?

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = - 3{x^2}\), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình \(y = 6x + 5\)?

Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình \(s = {t^3} - 4{t^2} + 4t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại các thời điểm \(t = 3\) giây và \(t = 5\) giây?