Giải Bài 9.1 trang 86 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\]

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu bởi f'(x0) (hoặc y'(x0)), tức là

\[f'(x_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}.\]

Lời giải chi tiết

a) \( f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2} - (1+h) - (1^{2} - 1)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^{2} - 1 - h - 1 + 1}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + h}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} (h + 1)\)

\(= 1 + 1\)

\(= 2\)

b) \( f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{-(h-1)^{3} + 1^{3}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{-(h^{3} - 3h^{2} + 3h - 1) + 1}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{-h^{3} + 3h^{2} - 3h}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} (-h^{2} + 3h - 3)\)

\(= 3\)

-- Mod Toán 11 HỌC247