Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong thực tế, người thợ xây dựng thường dùng dây dọi để xác định đường vuông góc với nền nhà. Thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

Thả một dây dọi \(AO\) chạm sàn nhà tại điểm \(O\). Kẻ một đường thẳng \(xOy\) bất kì trên sàn nhà.

a) Dùng êke để kiểm tra xem \(AO\) có vuông góc với \(xOy\) không.

b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.

Cho đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng 2 cắt nhau \(a\) và \(b\) trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Xét một đường thẳng \(c\) bất kì trong \(\left( P \right)\) (\(c\) không song song với \(a\) và \(b\)). Gọi \(O\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Trong \(\left( P \right)\) vẽ qua \(O\) ba đường thẳng \(a',b',c'\) lần lượt song song với \(a,b,c\). Vẽ một đường thẳng cắt \(a',b',c'\) lần lượt tại \(B,C,D\). Trên \(d\) lấy hai điểm \(E,F\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(EF\) (Hình 4).

a) Giải thích tại sao hai tam giác \(CEB\) và \(CFB\) bằng nhau.

b) Có nhận xét gì về tam giác \(DEF\)? Từ đó suy ra góc giữa \(d\) và \(c\).

a) Trong không gian, cho điểm \(O\) và đường thẳng \(d\). Gọi \(a,b\) là hai đường thẳng phân biệt đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\) (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng \(d\) và \(mp\left( {a,b} \right)\)?

b) Trong không gian, cho điểm \(O\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\left( Q \right)\) và \(\left( R \right)\) là hai mặt phẳng đi qua \(O\) và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau \(a,b\) nằm trong \(\left( P \right)\) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và giao tuyến \(d\) của \(\left( Q \right),\left( R \right)\)?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H,I,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên các cạnh \(SB,SC,SD\). Chứng minh rằng:

a) \(CB \bot \left( {SAB} \right)\) và \(CD \bot \left( {SAD} \right)\);

b) \(HK \bot AI\).

Làm thế nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?

Nêu nhận xét về vị trí tương đối của:

a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất.

b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn.

c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà.

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) và có \(A',B',C'\) lần lượt là trung điểm của \(OA,AB,AC\). Vẽ \(OH\) là đường cao của tam giác \(OBC\). Chứng minh rằng:

a) \(OA \bot \left( {A'B'C'} \right)\);

b) \(B'C' \bot \left( {OAH} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông với \(AB\) là cạnh góc vuông và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Cho \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,AB,CD,SC\). Chứng minh rằng:

a) \(AB \bot \left( {MNPQ} \right)\);

b) \(MQ \bot \left( {SAB} \right)\).

Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thể nào dùng một êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song với nhau hay không? Giải thích cách làm.

Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm \(M\) trên trần nhà và đánh dấu điểm \(M'\) nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng \(MM'\) với mặt sàn?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(C\), đường thẳng \(CD\) và tam giác \(SC{\rm{D}}\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không thuộc \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) trên \(b\) và gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( P \right)\).

a) Xác định hình chiếu \(b'\) của \(b\) trên \(\left( P \right)\).

b) Cho \(a\) vuông góc với \(b\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);

ii) hai đường thẳng \(a\) và \(b'\).

c) Cho \(a\) vuông góc với \(b'\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);

ii) giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại \(H\). Chứng minh \(AH \bot BC\).

Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng \(AB\) trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Cho biết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \({\rm{D}}\), \(AB = 2AD\).

a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(CM \bot \left( {SAB} \right)\).

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(H\), lấy điểm \(S\). Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\);

b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), có các cạnh bên đều bằng \(2a\).

a) Tính góc giữa \(SC\) và \(AB\).

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = 90^\circ ,\widehat {BSC} = {60^ \circ }\) và \(\widehat {ASC} = {120^ \circ }\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AC\). Chứng minh \(SI \bot \left( {ABC} \right)\).

Một cái lều có dạng hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \(AA'\)vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết \(AB = AC = 2,4m;BC = 2{\rm{ }}m;AA' = 3m\).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\); \(A'B'\) và \(AC\).

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(ABB'\) trên mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh $a\sqrt{2}$ . Biết rằng SA = SB = SC = SD, SO = $2a\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm của ∆BCD và AD ⊥ BC?

Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ MD tại H.

a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng GK ⊥ (ABC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ (SBD).

c) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).