Toán 10 Cánh Diều Bài 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

a) Định nghĩa

Ví dụ: Hãy tính khoảng biên thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: 10; 20; 3; 1; 3; 4; 7; 4; 9.

Giải

Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: \(1;3;3;4;4;7;9;10;20\)

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 20 - 1 = 19

+ Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá tị tứ phân vị thứ hai là: Q2 = 4

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 3; 3; 4. Do đó Q1 = 3

+ Tử phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 9; 10; 20. Do đó Q3 = 9,5.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: AQ = 9,5 - 3 = 6,5.

b) Ý nghĩa

+ Ý nghĩa của khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu phản ánh sự “đao động”, “sự dàn trải” của các số liệu trong mẫu đó. Khoảng biến thiên được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn, chẳng hạn: tìm ra sự phân tán điểm kiểm tra của một lớp học hay xác định phạm vi giá cả của một dịch vụ ...

+ Theo cách nhìn như ở trong vật lí, ở đó biên độ dao động phản ánh khoảng cách từ điểm cân bằng đến điểm xa nhất của dao động, nếu coi số trung bình cộng là “điểm cân bằng” của mẫu số liệu thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu có thể xem như hai lần biên độ đao động của các số trong mẫu đó quanh điểm cân bằng.

+ Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán và tương đối tốt đối với các mẫu số liệu nhỏ. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị \({x_{{\rm{max}}}}\) và \({x_{\min }}\) của mẫu số liệu nên đại lượng đó chưa diễn giải đầy đủ sự phân tán của các số liệu trong mẫu. Ngoài ra, giá trị của khoảng biến thiên sẽ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. Trong những trường hợp như vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu không phản ánh chính xác độ dàn trải của mẫu số liệu.

+ Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu và có thể giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường của mẫu số liệu.

a) Định nghĩa

b) Ý nghĩa

Phương sai là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.

Ví dụ: Xét mẫu số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Huy là:

6     7     7     8     7 (4)

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (4) là: \(\overline x  = 7\).

a) Tính phương sai của mẫu số liệu (4).

b) So sánh phương sai của mẫu số liệu (4) với phương sai của mẫu số liệu (3). Từ đó cho biết bạn nào có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn.

Giải

a) Gọi phương sai của hai mẫu số liệu (3) và (4) lần lượt là \(s_D^2,s_H^2\). Ta có: \(s_D^2 = 2\);

\(s_H^2 = \frac{{{{\left( {6 - 7} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2} + {{\left( {8 - 7} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}}{5} = \frac{2}{5} = 0,4\)

b) Do sử \(s_H^2 = 0,4 < s_D^2 = 2\) nên bạn Huy có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn bạn Dũng.

a) Định nghĩa

Nhận xét: Vì đơn vị đo của phương sai là bình phương đơn vị đo của số liệu thống kê, trong khi độ lệch chuẩn lại có cùng đơn vị đo với số liệu thống kê, nên khi càn chú ý đến đơn vị đo thì ta sử dụng độ lệch chuẩn.

b) Ý nghĩa

Cũng như phương sai, khi hai mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn. Độ lệch chuẩn là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo.

Ví dụ: Điều tra một số học sinh về số cái bánh chưng mà gia đình mỗi bạn tiêu thụ trong địp Tết Nguyên đán, kết quả được ghi lại ở bảng sau. Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu sô liêu.

Giải

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

\(\overline x  = \frac{1}{{40}}\left( {5.6 + 7.7 + 10.8 + 8.9 + 5.10 + 4.11 + 15} \right) = 8,5\). 

Phương sai của mẫu số liệu trên là

\({S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{5.6}^2} + {{7.7}^2} + {{10.8}^2} + {{8.9}^2} + {{5.10}^2} + {{4.11}^2} + {{15}^2}} \right) - 8,{5^2} = 3,25\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

\(S = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {3,25}  \approx 1,80.\)

Ta có thể sử dụng các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm để chỉ ra được những số liệu bất thường của mẫu số liệu đó. Ta thường sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu. Cụ thể như sau:

Giả sử \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường, nếu nó nhỏ hơn \({Q_1} - \frac{3}{2}{\Delta _Q}\) hoặc lớn hơn \({Q_3} + \frac{3}{2}{\Delta _Q}\). Như vậy, khoảng tứ phân vị cho ta cách nhận ra giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Câu 1: Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 500 m của 5 người là:

55,2 58,8 62,4 54 59,4 (5)

Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 1 500 m của 5 người đó là:

271,2 261 276 282 270 (6)

Tính phương sai của mẫu (5) và mẫu (6). Từ đó cho biết cự li chạy nào có kết quả đồng đều hơn.

Hướng dẫn giải

+) Ta có: \(\overline {{x_5}}  = 57,96,\overline {{x_6}}  = 272,04\)

+) Vậy phương sai của mẫu (5) và (6) là:

\(s_{\left( 5 \right)}^2 = \frac{{{{\left( {55,2 - \overline {{x_5}} } \right)}^2} + {{\left( {58,8 - \overline {{x_5}} } \right)}^2} + {{\left( {62,4 - \overline {{x_5}} } \right)}^2} + {{\left( {54 - \overline {{x_5}} } \right)}^2} + {{\left( {59,4 - \overline {{x_5}} } \right)}^2}}}{5} = 9,16\)

 \(s_{\left( 6 \right)}^2 = \frac{{{{\left( {271,2 - \overline {{x_6}} } \right)}^2} + {{\left( {261 - \overline {{x_6}} } \right)}^2} + {{\left( {276 - \overline {{x_6}} } \right)}^2} + {{\left( {282 - \overline {{x_6}} } \right)}^2} + {{\left( {270 - \overline {{x_6}} } \right)}^2}}}{5} = 48,33\)

Câu 2: 

Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là:

430 560 450 550 760 430

525 410 635 450 800 900

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó

Hướng dẫn giải

+) Ta có bàng tần số:

+) Từ bảng tần số ta có số lượng áo trung bình bán ra trong 1 tháng là: \(\overline x  = 602\) ( chiếc áo)

+) Phương sai của mẫu số liệu là:

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{{{\left( {410 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {430 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {450 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {525 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {550 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {560 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {635 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {760 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {800 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {900 - \overline x } \right)}^2}}}{{12}}\\ = 25401\end{array}\)

+) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(s = \sqrt {{s^2}}  = 159,4\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Khái niệm các số đặc trưng của mẫu liệu: phương sai , độ lệch chuẩn.

- Biết tính các số đặc trưng của mẫu liệu : số trung bình , số trung vị , mốt , phương sai , độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 6 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Điều tra về chiều cao của 100 học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:

  

  Phương sai là:

  • A. 4,69
  • B. 4,70
  • C. 4,71
  • D. 4,72

• Câu 2:

  Sản lượng lúa (đơn vị: tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây:

  

  Phương sai là:

  • A. 1,52
  • B. 1,53
  • C. 1,54
  • D. 1,55

• Câu 3:

  Cho bảng thống kê:

  

  Tìm độ lệch chuẩn:

  • A. 1,99
  • B. 1,98
  • C. 1,97
  • D. 1,96

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 6 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 35 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 2 trang 37 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 1 trang 38 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 3 trang 39 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 2 trang 39 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 1 trang 41 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 2 trang 41 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 3 trang 41 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 14 trang 37 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 15 trang 38 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 16 trang 38 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 17 trang 38 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 18 trang 38 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 19 trang 39 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!