Ban đầu, số chỉ của vôn kế là: \({{U}_{V1}}={{U}_{d}}=\frac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\)

Nối tắt tụ điện, số chỉ của vôn kế là điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch: \({{U}_{V2}}=U\)

Theo đề bài ta có:

\({{U}_{V2}}=3{{U}_{V1}}\Rightarrow U=3{{U}_{d}}\Rightarrow U=3\frac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\)

\(\Rightarrow {{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=9\left( {{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2} \right)\left( 1 \right)\)

Cường độ dòng điện trong hai trường hợp vuông pha với nhau, ta có:

\(\tan {{\varphi }_{1}}.\tan {{\varphi }_{2}}=-1\Rightarrow \frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}.\frac{{{Z}_{L}}}{r}=-1\)

\(\Rightarrow {{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=-{{r}^{2}}\)

Thay vào phương trình (1), ta có:

\(-{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=9\left( -{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+{{Z}_{L}}^{2} \right)\)

\(\Rightarrow {{Z}_{C}}^{2}-{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=9{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}\Rightarrow {{Z}_{C}}^{2}-10{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=0\Rightarrow {{Z}_{C}}=10{{Z}_{L}}\)

\(\Rightarrow {{r}^{2}}=-{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=9{{Z}_{L}}^{2}\Rightarrow r=3{{Z}_{L}}\)

Hệ số công suất của mạch điện lúc đầu là:

\(\cos \varphi =\frac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{3{{Z}_{L}}}{\sqrt{9{{Z}_{L}}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-10{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)