OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm ?

    \({e^m} + {e^{3m}} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\)

    • A. 
      2
    • B. 
      0
    • C. 
      Vô số
    • D. 
      1

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    ĐKXD: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\).

    Đặt \(x + \sqrt {1 - {x^2}} = t\) ta có \({t^2} = {x^2} + 1 - {x^2} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow x\sqrt {1 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

    Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,\,\,\,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\)   

    \( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ 1 - {x^2} = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

    BBT:

    Từ BBT ta có: \(t \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]\). Khi đó phương trình trở thành:

    \({e^m} + {e^{3m}} = 2t\left( {1 + \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = t\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^3} + t\,\,\left( * \right)\) 

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R ⇒ Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).

    Từ \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {{e^m}} \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow {e^m} = t \Leftrightarrow m = \ln t \Rightarrow m \in \left( {0;\ln \sqrt 2 } \right) = \left( {0;\frac{1}{2}\ln 2} \right)\). Lại có \(m \in N \Rightarrow m \in \emptyset \)

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12