OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge - 1\) và \({\log _2}\frac{{x + y + 1}}{{4x + y + 3}} = 2x - y\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{{{(x + z + 1)}^2}}}{{3x + y}} + \frac{{{{(y + 2)}^2}}}{{x + 2z + 3}}\) tương ứng bằng:

    • A. 
      \(4\sqrt 2 \)
    • B. 
      6
    • C. 
      \(6\sqrt 3 \)
    • D. 
      4

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Từ giả thiết ta có:  

    \(\begin{array}{l} {\log _2}\frac{{x + y + 1}}{{4x + y + 3}} = 2x - y \Leftrightarrow 1 + {\log _2}\frac{{x + y + 1}}{{4x + y + 3}} = 2x - y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2x + 2y + 2}}{{4x + y + 3}} = (4x + y + 3) - (2x + 2y + 2)\\ \Leftrightarrow f(2x + 2y + 2) = f(4x + y + 3) \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 4x + y + 3 \Leftrightarrow y = 2x + 1 \end{array}\)

     (Với hàm \(f(t) = {\log _2}t + t\) là đơn điệu trên \((0; + \infty )\))

    Thay vào biểu thức T ta được: \(T = \frac{{{{(x + z + 1)}^2}}}{{3x + y}} + \frac{{{{(y + 2)}^2}}}{{x + 2z + 3}} = \frac{{{{(x + z + 1)}^2}}}{{5x + y}} + \frac{{{{(2x + 3)}^2}}}{{x + 2z + 3}}\)

    Áp dụng bất đẳng thức: \(T = \frac{{{{(x + z + 1)}^2}}}{{5x + y}} + \frac{{{{(2x + 3)}^2}}}{{x + 2z + 3}} \ge \frac{{{{(3x + z + 4)}^2}}}{{6x + 2z + 4}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{(3x + z + 4)}^2}}}{{3x + z + 2}}\)

    Đặt \(t = 3x + z + 2 \Rightarrow T \ge \frac{1}{2}(t + \frac{4}{t} + 4) \ge \frac{1}{2}(2\sqrt {t.\frac{4}{t}} + 4) = 4\)

    Dấu "=" xảy ra khi : \(\left\{ \begin{array}{l} y = 2x + 1\\ t = 2 = 3x + z + 2\\ \frac{{x + z + 1}}{{5x + 1}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 2z + 3}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = z = 0\\ y = 1 \end{array} \right.\)

    Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 4\).

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12