Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m+2,\) ta có:

                   \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)

                   \(f\left( 1 \right)=m,f\left( -1 \right)=m+6,f\left( 3 \right)=m+20.\)

Suy ra: \(\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=m,\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=m+20.\)

Vì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

\(f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ -1;3 \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=m>0\Rightarrow 0<m<2018.\)

Mặt khác, với mọi số thực \(a,b,c\in \left[ -1;3 \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi \(f\left( 1 \right),f\left( 1 \right),f\left( 3 \right)\) cũng là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) > f\left( 3 \right)\\ {\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^2} + {\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^2} > {\left[ {f\left( 3 \right)} \right]^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2m > m + 20\\ 2{m^2} > {\left( {m + 20} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 20\\ \left[ \begin{array}{l} m < 20 - 20\sqrt 2 \\ m > 20 + {\rm{20}}\sqrt 2 \end{array} \right.{\rm{ }} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow m>20+20\sqrt{2}\Rightarrow 20+20\sqrt{2}<m<2018.\)

Mà \(m\in \mathbb{Z}*\Rightarrow m=49;50;...;2017\) nên ta có \(2017-48=1969\) giá trị nguyên dương của \(m.\)