Điều kiện: \(y>0,x>-\sqrt[3]{2}\)

Từ giả thiết ta có: \(\ln y+\ln 3\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2 \right)\Leftrightarrow \ln 3y\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2 \right)\Leftrightarrow 3y\ge {{x}^{3}}+2\Leftrightarrow 3\left( y-x \right)\ge {{x}^{3}}-3x+2\)

Xét hàm số \(h\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2\) trên \(\left( -\sqrt[3]{2};+\infty  \right).\)

Ta có: \(h'\left( x \right) = 3{x^2} - 3,h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right..\)

           \(h\left( -1 \right)=4,h\left( 1 \right)=0,h\left( -\sqrt[3]{2} \right)=3\sqrt[3]{2}>0.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: \(\underset{\left( -\sqrt[3]{2};+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)=0.\) Suy ra: \(3\left( y-x \right)\ge 0\Leftrightarrow y-x\ge 0.\)

Ta có:

\(H={{e}^{4y-{{x}^{3}}-x-2}}-\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}+x\left( y+1 \right)-y={{e}^{y-x+3y-\left( {{x}^{3}}+2 \right)}}-\frac{{{\left( y-x \right)}^{2}}}{2}-\left( y-x \right)\ge {{e}^{y-x}}-\frac{{{\left( y-x \right)}^{2}}}{2}-\left( y-x \right).\)

Xét hàm số \(g\left( t \right)={{e}^{t}}-\frac{1}{2}{{t}^{2}}-t\) trên \(\left[ 0;+\infty  \right).\)

Ta có: \(g'\left( t \right)={{e}^{t}}-t-1,g''\left( t \right)={{e}^{t}}-1.\)

Ta có: \(\forall t\ge 0\Rightarrow g''\left( t \right)={{e}^{t}}-1\ge {{e}^{0}}-1=0,\) suy ra hàm số \(g'\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty  \right).\)

Suy ra: \(\forall t\ge 0:g'\left( t \right)\ge g'\left( 0 \right)=0,\) suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty  \right).\)

Vậy \(\underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( t \right)=g\left( 0 \right)=1,\) Suy ra: \({{H}_{\min }}=1.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ 3y = {x^3} + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\)