Cho bất phương trình \(m{.9^{2{x^2} - x}} - \left( {2m + 1} \right){6^{2{x^2} - x}} + m{4^{2{x^2} - x}} \le 0\). Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \ge \dfrac{1}{2}\).

Câu hỏi:
Cho bất phương trình \(m{.9^{2{x^2} - x}} - \left( {2m + 1} \right){6^{2{x^2} - x}} + m{4^{2{x^2} - x}} \le 0\). Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \ge \dfrac{1}{2}\).
- A.
  \(m < \dfrac{3}{2}\)
- B.
  \(m \le \dfrac{3}{2}\)
- C.
  \(m \le 0\)
- D.
  \(m < 0\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C
\(\begin{array}{l}m{.9^{2{x^2} - x}} - \left( {2m + 1} \right){6^{2{x^2} - x}} + m{4^{2{x^2} - x}} \le 0\\ \Leftrightarrow m.\dfrac{{{9^{2{x^2} - x}}}}{{{4^{2{x^2} - x}}}} - \left( {2m + 1} \right)\dfrac{{{6^{2{x^2} - x}}}}{{{4^{2{x^2} - x}}}} + m \le 0\\ \Leftrightarrow m{\left[ {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^{2{x^2} - x}}} \right]^2} - \left( {2m + 1} \right){\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2{x^2} - x}} + m \le 0\end{array}\)

Đặt \({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2{x^2} - x}} = t\) với \(x \ge \dfrac{1}{2}\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - x\) ta có BBT:

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow t \ge {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^0} = 1\).

Khi đó bất phương trình trở thành \(m{t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + m \le 0\,\,\forall t \ge 1\).

\( \Leftrightarrow m\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) - t \le 0\,\,\,\forall t \ge 1 \Leftrightarrow m{\left( {t - 1} \right)^2} - t \le 0\,\,\,\forall t \ge 1\,\).

Khi \(t = 1\,\) ta có \( - 1 \le 0\) luôn đúng.

Xét khi \(t > 1 \Rightarrow m \le \dfrac{t}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = f\left( t \right)\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{t > 1} f\left( t \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2} - t.2\left( {t - 1} \right)}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{t - 1 - 2t}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} = \dfrac{{ - t - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

BBT:

Dựa vào BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) ta có \(\mathop {\min }\limits_{t > 1} f\left( t \right) > 0 \Rightarrow m \le 0\).

Chọn C.

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải