Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f(x)  xác định trên tập D.

\(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \forall x \in D\,,\,f(x) \le M\\ \exists {x_1} \in D\,,\,f({x_1}) = M \end{array} \right.\)

\(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \forall x \in D\,,\,f(x) \ge m\\ \exists {x_2} \in D\,,\,f({x_2}) = m \end{array} \right..\)

Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b )thì giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của f trên [a;b] luôn tồn tại , hơn nữa các giá trị này chỉ đạt được tại các điểm cực trị hoặc tại hai biên a,b.Do đó trong trường hợp này để tìm \(\underset{x\in [a,b]}{\mathop{\max }}\,f(x)\,\,,\,\,\underset{x\in [a,b]}{\mathop{\min }}\,f(x)\), ta có thể tiến hành một cách đơn giản hơn như sau:

Tính f’(x) và tìm các nghiệm \({{\text{x}}_{\text{1}}},{{\text{x}}_{\text{2}}},\ldots .,{{\text{x}}_{\text{n}}}\) thuộc (a;b) của phương trình f’(x) = 0.

Tính \(f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),....,f({{x}_{n}}),\,f(a),\,f(b)\).

Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên [a,b].

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+5,x\in [-2;3]\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\), xét \(x\in [-2;3]\)

Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-4x\) và \(y'=0\Leftrightarrow 4x({{x}^{2}}-1)=0\Rightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1\)

\(y(0)=5;\mathsf{ }y(-1)=4;\mathsf{ }y(1)=4;\mathsf{ }y(-2)=13;\mathsf{ }y(3)=68.\)

Vậy, \(\underset{x\in [-2;3]}{\mathop{max}}\,y=68\) khi x=3 và \(\underset{x\in [-2;3]}{\mathop{min}}\,y=4\) khi \(x=\pm 1\)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \(y={{x}^{5}}-5{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}+2,x\in [-1;2]\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\), xét \(x\in [-1;2]\)

Ta có: \(y'=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}\) và \(y'=0\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0,x=1, x=3\notin [-1;2]\)

\(y(0)=2;\mathsf{ }y(1)=3;\mathsf{ }y(-1)=-9;\mathsf{ }y(2)=-6.\)

Vậy, \(\underset{x\in [-1;2]}{\mathop{max}}\,y=3\) khi x=1 và \(\underset{x\in [-1;2]}{\mathop{min}}\,y=-9\) khi x=-1

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \(y=3-x+\left| {{x}^{2}}-4x+3 \right|\)

2. \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}+\left| x-1 \right|\)

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \(y=\left( 3-x \right)\sqrt{5-{{x}^{2}}}\)

3. \(\text{y}=\text{x}+\text{2}+\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\)

2. \(y=x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)

4. \(y=\left( x-6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\), \(\forall x\in \left[ 0;3 \right]\)

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{2{{x}^{2}}+x+2}\)

2. \(y=\frac{20{{x}^{2}}+10x+3}{3{{x}^{2}}+2x+1}\text{ }\)

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \(y=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1},x\in \left[ -2;3 \right]\)

2. \(y=\sqrt{-{{x}^{2}}+4x+21}-\sqrt{-{{x}^{2}}+3x+10}\)

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1. \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x+3\,\,\,,\,\,x\in [0;4]\)

2. \(y={{x}^{6}}+4{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)

3. \(y=\frac{x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}}}{8{{x}^{2}}+1}\) trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\)

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1.\(y=(x+3)\sqrt{-{{x}^{2}}-2x+3}\)

2. \(y=\sqrt{45+20{{x}^{2}}}+\left| 2x-3 \right|\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1. \({\mkern 1mu} y = \left\{ \begin{array}{l} 3 - x + {x^2} - 4x + 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} - 4x + 3 \ge 0\\ 3 - x - {x^2} + 4x - 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} - 4x + 3 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow y = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \le 1,x \ge 3\\ - {x^2} + 3x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 \le x \le 3 \end{array} \right.\)

Với \(x\in (-\infty ;1)\bigcup (3;+\infty ),\mathsf{  }y'=\text{2x}\text{5}\) hay \(y'=\text{2}\left( \text{x}2 \right)-1\)

Ta thấy: y'<0 với \(x\in (-\infty ;1\) và y'>0 với \(x\in (3;+\infty )\)

Với \(x\in (1;3),\mathsf{  }y'=-\text{2x}+\text{3}\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\in (1;3)\)

Tại \(\text{x}=\text{1}\): \(y'({{1}^{+}})=-2(1)+3=1,y'({{1}^{-}})=2(1)-5=-3 \Rightarrow y'(1)\) không tồn tại

Tại \(\text{x}=3\): \(y'({{3}^{+}})=2(3)-5=1, y'({{3}^{-}})=-2(3)+3=-3 \Rightarrow y'(3)\) không tồn tại

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\left( \frac{3}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}+\left| 1-\frac{4}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}} \right| \right)=+\infty \)

Từ bảng biến thiên trên suy ra  \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=0\,\,,\,\,\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y\) không tồn tại.

2. \(y = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 - {x^2}} + x - 1\,\,\,khi\,\,\,x \in [1;2]\\ \sqrt {4 - {x^2}} + 1 - x\,\,\,khi\,\,\,x \in [ - 2;1] \end{array} \right.\)

\( x \in (1;2)\,\,,\,\,y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} + 1 = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 - {x^2}} - x = 0\\ x \in (1;2) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 - {x^2}} = x\\ x \in (1;2) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - {x^2} = {x^2}\\ x \in (1;2) \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 2\\ x \in (1;2) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .\)

\( x \in ( - 2;1)\,\,,\,\,y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} - 1 = \frac{{ - x - \sqrt {4 - {x^2}} }}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in ( - 2;1)\\ \sqrt {4 - {x^2}} = - x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in ( - 2;1)\\ - x \ge 0\\ 4 - {x^2} = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \sqrt 2 \)

Tại \(\text{x }=\text{1}:y'({{1}^{+}})=-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\,\,\,,\,\,y'({{1}^{-}})=-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\Rightarrow y'(1)\) không tồn tại.

Tại \(\text{x}=\text{2 },\text{ x}=-\text{2}\) thì y' không xác định .

Từ bảng biến thiên trên suy ra \(\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,y=2\sqrt{2}+1\,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,y=1\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến hàm số lượng giác

Chúc các em học tập tốt!