Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

HÀM SỐ BẬC BA : \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\)

1. Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

2. Đạo hàm: \(y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c, {\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\)

\({\Delta }'>0\): Hàm số có 2 cực trị.

\({\Delta }'\le 0\): Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên \(\mathbb{R}\).

3. Đạo hàm cấp 2: \(y''=6ax+2b, y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{3a}\)

\(x=-\frac{b}{3a}\) là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

4. Giới hạn:

Nếu a>0 thì: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \)

Nếu a<0 thì: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \)

5. Bảng biến thiên và đồ thị:

 Trường hợp a>0:

* \({\Delta }'={{b}^{2}}-3ac>0\): Hàm số có 2 cực trị

* \({\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\le 0\Rightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\): Hàm số luôn tăng trên \(\mathbb{R}\).

 Trường hợp a<0:

* \({\Delta }'={{b}^{2}}-3ac>0\): Hàm số có 2 cực trị.

* \({\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\le 0\Rightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\): Hàm số luôn giảm trên \(\mathbb{R}\).

Một số tính chất của hàm số bậc ba

1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: \({\Delta }'={{b}^{2}}-3ac>0\).

2. Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & {\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align} \right.\)

3. Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\ & {\Delta }'={{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{align} \right.\)

4. Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho \({f}'(x): f(x)={f}'(x).g(x)+rx+q\)

Nếu \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của \({f}'(x)\) thì: \(f({{x}_{1}})=r{{x}_{1}}+q;\text{ }f({{x}_{2}})=r{{x}_{2}}+q\)

Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị là y=rx+q.

5. Đồ thị luôn có điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị.

6. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.

7. Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox.

8. Đồ thị cắt Ox tại một điểm \(\Leftrightarrow \) hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu.

9. Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn. Cho \(M\in (C)\)

* Nếu \(M\equiv I\) thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất (nếu a>0), lớn nhất (nếu a<0).

* Nếu  M khác I  thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua M.

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  ( C ) của hàm số: 1. \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4.\) 2. \(y=-{{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}\) 3. \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4x\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên :

\({y}'=-3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=-3x\left( x-2 \right); {y}'=0\Leftrightarrow -3\text{x}\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\,\infty \,\,;\,\,0 \right)\) và \(\left( 2\,\,;\,\,+\,\infty\right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,\,;\,\,2 \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2; giá trị cực đại của hàm số là \(y\left( 2 \right)=0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left( 0 \right)=-\,4\)

Giới hạn của hàm số tại vô cực : \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \,\,\,\,;\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

Cho \(x=-1\Rightarrow y=0\,;\,\,x=3\Rightarrow y=-\,4\)

2. Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

\({y}'=-3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=-3x\left( x-2 \right); {y}'=0\Leftrightarrow -3\text{x}\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\,\infty \,\,;\,\,0 \right)\) và \(\left( 2\,\,;\,\,+\,\infty  \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,\,;\,\,2 \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2; giá trị cực đại của hàm số là \(y\left( 2 \right)=4\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left( 0 \right)=0\)

Giới hạn của hàm số tại vô cực: \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \,\,\,\,;\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

Cho \(x=-1\Rightarrow y=4\,;\,\,x=3\Rightarrow y=0.\)

3. Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực: \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty \,\,\,\,;\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \)

Ta có: \(y'={{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+4={{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 0\,,\forall x\in \mathbb{R}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\,\infty \,\,;\,+\,\infty  \right)\)

Hàm số không có cực trị .

Bảng biến thiên:

Đồ thị : Cho \(x=0\Rightarrow y=0\)

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\) có đồ thị ( C ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  ( C ) của hàm số; 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại \(A\left( 3;1 \right).\)

Lời giải.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên :

Ta có : \(y'=-3{{x}^{2}}+6x=-3x\left( x-2 \right)\)

\(y'=0\Leftrightarrow -3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=2

\({y}'>0\Leftrightarrow x\in \left( 0\,\,;\,\,2 \right)\,\,;\,\,{y}'<0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty \,\,\,;\,\,0 \right)\,\cup \left( 2\,\,;\,\,+\,\infty  \right).\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\,\infty \,\,;\,\,0 \right)\) và \(\left( 2\,\,;\,\,+\,\infty  \right)\), đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,\,;\,\,2 \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2; giá trị cực đại của hàm số là \(y\left( 2 \right)=5\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left( 0 \right)=1.\)

Giới hạn của hàm số tại vô cực : \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \,\,\,\,;\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty .\)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Cho x = -1 ⇒ y = 5;

x = 3 ⇒ y = 1.

2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(A\left( 3\,\,;\,\,1 \right)\) có dạng :

\(y-1={y}'\left( 3 \right).\left( x-3 \right)\Leftrightarrow y=-9\left( x-3 \right)+1\Leftrightarrow y=-9x+28\)

Bài 1. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}-mx-4\), trong đó m là tham số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với  m=0;

2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty \,\,;\,\,0 \right)\).

Lời giải.

1. Khi  m=0 thì hàm số là : \(y={{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}-4\).

Tập xác định: D=\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực: \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty \,\,\,\,;\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \)

Bảng biến thiên:

+ \({y}'=3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=3\text{x}\left( x+2 \right),{y}'=0\Leftrightarrow 3\text{x}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=-2

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\,\infty \,\,;\,\,-\,2 \right)\) và \(\left( 0\,\,;\,\,+\,\infty  \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( -\,2\,\,;\,\,0 \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-2; giá trị cực đại của hàm số là \(y\left( -2 \right)=0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left( 0 \right)=-\,4\)

Giới hạn của hàm số tại vô cực : \(\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\,\infty \,\,\,\,;\,\,\,\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\,\infty .\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

Cho \(x=-3\Rightarrow y=-4\,\,;\,\,x=1\Rightarrow y=0\)

2. Hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}-mx-4\) đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty \,;0 \right)\)

\(\Leftrightarrow {y}'=3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}-m\ge 0\,\,,\,\,\forall x\in \left( -\,\infty \,;\,0 \right)\).

Xét: \(g\left( x \right)=3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}-m\,\,\,,\,\,x\in \left( -\,\infty \,;\,0 \right)\)

\({g}'\left( x \right)=6\text{x}+6\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1\)

Bảng biến thiên :

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: 

\(y' = g\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - m \ge 0\,\,\,,\,\,\forall x \in \left( { - \,\infty \,;\,0} \right) \Leftrightarrow  - 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - 3\)

Vậy khi \(m \le  - 3\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn .

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hữu tỷ

• Hàm số bậc trùng phương và các vấn đề liên quan

Chúc các em học tập tốt!