Đề cương ôn tập giữa HK1 môn Toán 12 năm 2023-2024

1.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), khi đó:

+) \(f'\left( x \right) > 0\) trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

+) \(f'\left( x \right) < 0\) trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a,b} \right).\)

1.1.2. Cực trị của hàm số

Dấu hiệu 1:

+) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định tại \({x_0}\) và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) là điểm cực đại của hàm số.

+) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định tại \({x_0}\) và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số.

- Quy tắc 1: (dựa vào dấu hiệu 1)

+) Tính y'

+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định)

+) Lập bảng xét dấu \(y'\) và dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Dấu hiệu 2:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp 2 tại \({x_0}\).

+) \({x_0}\) là điểm cực đại \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)

+) \({x_0}\) là điểm cực tiểu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)

- Quy tắc 2: (dựa vào dấu hiệu 2)

+) Tính \(f'\left( x \right),f''\left( x \right)\).

+) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm.

+) Thay nghiệm vừa tìm vào \(f''\left( x \right)\) và kiểm tra, từ đó suy kết luận.

1.1.3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:

- Quy tắc chung: (Thường dùng cho D là một khoảng)

 + Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên D.

 + Lập BBT cho hàm số trên D.

 + Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

-  Quy tắc riêng: (Dùng cho \(\left[ {a;b} \right]\)) . Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\)

 + Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên \(\left[ {a,b} \right]\).

 + Giả sử phương trình có các nghiệm \({x_1},{x_2},... \in \left[ {a,b} \right]\).

 + Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...\).

 + So sánh chúng và kết luận.

1.1.4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

+) Đường thẳng \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có một trong các điều kiện sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y = + \infty\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y = - \infty\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y = + \infty\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y = - \infty\)

+) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có một trong các điều kiện sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = b\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = b\)

1.1.5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\)

c) Các dạng đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)

+) Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{d}{c}} \right\}\)

+) Đạo hàm: \(y = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

- Nếu \(ad - bc > 0\) hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.

- Nếu \(ad - bc < 0\) hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: \(x = - \dfrac{d}{c}\) và TCN: \(y = \dfrac{a}{c}\)

+) Đồ thị có tâm đối xứng: \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\)

1.1.6. Sự tương giao của đồ thị hàm số

a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

Cho 2 hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right).\)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right):~f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( * \right)\)

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.

+) Số nghiệm của \(\left( * \right)\) là số giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right).\)

b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng \(F\left( {x,m} \right) = 0\) (phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\)

+) Lập BBT cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm \(F\left( {x,m} \right) = 0\)

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử \(x = {x_0}\) là 1 nghiệm của phương trình.

+) Phân tích: \(F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) (\(g\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 \(g\left( x \right) = 0\).

 

1.2.1. Một số định nghĩa

Hình lăng trụ đứng

- Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

- Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều

- Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

- Tính chất: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.

Hình hộp đứng

- Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

- Tính chất: Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật

- Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

- Tính chất: Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

Hình lập phương

- Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông

- Tính chất: Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.

Hình chóp: Là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.

1.2.2. Công thức tính thể tích

Thể tích khối chóp

\(V=\frac{1}{3}S.h\)

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

Thể tích khối lăng trụ

\(V=B.h\)

Trong đó: B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ

Thể tích khối hộp chữ nhật

\( V= abc\)

Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.

Thể tích khối lập phương

\( V = a^3\)

Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

1.2.3. Tỉ số thể tích

Cho khối chóp S.ABC và A', B', C' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có

---(Để xem tiếp nội dung đề thi minh hoạ các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Đề cương ôn tập giữa HK1 môn Toán 12 năm 2023-2024. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Mời các em tham khảo tài liệu có liên quan:

• Đề cương ôn tập giữa HK1 môn Tiếng Anh 12 năm 2023-2024
• Đề cương ôn tập giữa HK1 môn Vật lí 12 năm 2023-2024
• Đề cương ôn tập giữa HK1 môn Ngữ Văn 12 năm 2023-2024

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.