Chuyên đề nâng cao Tính chất chia hết trên tập hợp số nguyên Toán 8

Chuyên đề nâng cao

TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

Các bài toán về chia hết và chia còn dư trên tập hợp số nguyên là loại toán cơ bản, trọng tâm của phần số học. Các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển vào các lớp chuyên, lớp chọn không thể thiếu loại toán này. Chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa, tính chất và hệ thống các phương pháp chứng minh chia hết trên tập hợp các số nguyên.

Cho a, b \(\in \) Z và b \(\ne \) 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a \(\vdots \) b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.

Người ta đã chứng minh được rằng : Với hai số nguyên tuỳ ý a và b (b \(\ne \) 0) tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho a = bq + r trong đó 0 \(\le \) r\(\le \) |b|.

Số r gọi là số dư trong phép chia a cho b. Nếu r = 0 thì a \(\vdots \) b.

Một số tính chất về chia hết suy từ định nghĩa Với a, b, c, k \(\in \) Z.

1. Nếu a \(\ne \) 0 thì a \(\vdots \)  a.

2. Nếu a \(\vdots \) b, b \(\vdots \) c thì a \(\vdots \) c.

3. Số 0 chia hết cho mọi số nguyên khác 0.

4. Nếu a \(\vdots \) b và b\(\vdots \) a thì a = ±b.

5. Nếu a \(\vdots \) b thì ka \(\vdots \) b.

1. Nếu a \(\vdots \) m, b \(\vdots \) m thì a ± b \(\vdots \) m.

2. Nếu a \(\vdots \) m, b \(\not{\vdots }\) m thì a ± b \(\not{\vdots }\) m.

3. Nếu a \(\vdots \) m, b \(\vdots \) n thì ab \(\vdots \) mn.

Đặc biệt: nếu a \(\vdots \) b thì \({{\text{a}}^{\text{n}}}\text{ }{{\vdots }^{{}}}{{\text{b}}^{\text{n}}}\) (n \(\in \) N).

4. Nếu a \(\vdots \) m, a \(\vdots \) n mà (m, n) = 1 thì a \(\vdots \) mn

Nếu a \(\vdots \) m, a \(\vdots \) n mà (m, n) \(\ne \) 1 thì a \(\vdots \) BCNN(m, n).

5. Nếu ab : m mà (a, m) = 1, thì b : m.

Đặc biệt: Nếu ab \(\vdots \) p thì a \(\vdots \) p hoặc b \(\vdots \) p (với p là số nguyên tố).

Nếu \({{\text{a}}^{\text{n}}}\) \(\vdots \) p thì a \(\vdots \) p (với p là số nguyên tố).

a) Phương pháp 1 : Phân tích biểu thức bị chia thành tích

Để chứng minh biểu thức A(n) với n là số nguyên chia hết cho một số nguyên a \(\ne \) 0, ta phân tích A(n) thành nhân tử và chứng minh ít nhất có một nhân tử chia hết cho a.

Lưu ý : Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 ; Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Tổng quát: Tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng :

a) Hiệu của một số có ba chữ số với tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

b) Hiệu của một số có ba chữ số với số đó viết theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 99.

Giải

a) Gọi số có ba chữ số là \(\overline{\text{abc}}\).

Ta có \(\overline{\text{abc}}\) - (a + b + c) = 100a + 10b + c - (a + b + c)

                                     = 99a + 9b = 9.(11a + b) \(\vdots \) 9

b) Gọi số có ba chữ số là abc .

Ta có \(\overline{\text{abc}}\) - \(\overline{\text{cba}}\) = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)

= 99a - 99c = 99.(a - c) \(\vdots \) 99.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

a) Bình phương của một số nguyên trừ đi số nguyên đó thì chia hết cho 2.

b) Lập phương của một số nguyên trừ đi số nguyên đó thì chia hết cho 6.

Giải. Gọi số nguyên là n

a) Ta có \({{\text{n}}^{\text{2}}}\text{ - n = n}\left( \text{n - 1} \right)\text{ }\vdots \text{ 2}\) (vì là tích của hai số nguyên liên tiếp).

b) Ta có \({{\text{n}}^{\text{3}}}\text{ - n = n}\left( {{\text{n}}^{\text{2}}}\text{ - 1} \right)\text{ = n}\left( \text{n - l} \right)\left( \text{n + 1} \right)\text{.}\)

Tích (n - 1).n.(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, cho 3. Mặt khác (2, 3) = 1 nên tích trên chia hết cho 2.3 tức là chia hết cho 6.

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Chứng minh rằng :

a) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 ;

b) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.

2. Cho n \(\in \) Z, chứng minh rằng :

a) A \(\text{= }{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{ - 2}{{\text{n}}^{\text{3}}}\text{ - }{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{ + 2n}\) chia hết cho 24 ;

b) B = \({{\text{n}}^{\text{5}}}\text{ - 5}{{\text{n}}^{\text{3}}}\text{ + 4n}\) chia hết cho 120.

3. Chọn số tự nhiên \(\text{a}_{\text{1}}^{{}}\text{, a}_{\text{2}}^{{}}\text{, a}_{\text{3}}^{{}},...,\text{ a}_{\text{n}}^{{}}\) có tổng bằng 999.

Chứng minh rằng \(\text{a}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{ + a}_{\text{2}}^{\text{2}}\text{ + a}_{\text{3}}^{\text{2}}\text{ + }...\text{ + a}{{_{\text{n}}^{\text{2}}}^{{}}}{{\vdots }^{{}}}3\) 

4. Cho n \(\in \)N, chứng minh rằng :

a) \({{\text{6}}^{\text{2n}}}\text{ + 1}{{\text{9}}^{\text{n}}}\text{ - }{{\text{2}}^{\text{n+1}}}\) chia hết cho 17 ;

b) \({{\text{6}}^{\text{2n+1}}}\text{ + }{{\text{5}}^{\text{n+2}}}\) chia hết cho 31 ;

c) \({{\text{9}}^{\text{2n}}}\text{ + 39}\) chia hết cho 40.                                    

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề nâng cao Tính chất chia hết trên tập hợp số nguyên Toán 8​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.