Các dạng toán tìm các điểm đối xứng nhau trên đồ thị

Cho đồ thị \(\left( C \right):\text{ y}=\text{f}\left( \text{x} \right)\), tìm trên đồ thị những cặp điểm \(\text{M},\text{N}\) đối xứng nhau qua điểm A hoặc đường thẳng \(\text{d}:\text{ ax}+\text{by}+\text{c}=0\) ( cho sẵn )

Cách giải:

- Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in (C)\Rightarrow {{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\quad \left( 1 \right)\)

- Tìm tọa độ điểm \(\text{N}\) theo \({{x}_{0}},{{y}_{0}}\) sao cho N là điểm đối xứng của M qua A( hoặc qua d). Nên ta có : \({{y}_{N}}=f\left( {{x}_{N}} \right)\quad \left( 2 \right)\)

- Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta tìm được tọa độ của điểm M, N

Cho hàm số \(\left( C \right):\text{ y}=\text{f}\left( \text{x} \right)\).Tìm các cặp điểm trên \(\left( C \right)\) đối xứng với nhau qua điểm \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right).\)

Cách giải:

Gọi cặp điểm cần tìm là \(\text{M}({{x}_{1}};{{y}_{1}})\) và \(\text{N}({{x}_{2}};{{y}_{2}})\), thế thì ta có:

M và N đối xứng qua I ⇒ I là trung điểm của đoạn MN

M và N thuộc (C) nên tọa độ của chúng nghiệm đúng phương trình y = f(x).

Do đó tọa độ của M, Nlà nghiệm của hệ sau \(\left\{ \begin{array}{l} {y_1} = f({x_1})\\ {y_2} = f({x_2})\\ {x_1} + {x_2} = 2{x_I}\\ {y_1} + {y_2} = 2{y_I} \end{array} \right.\)

Giải hệ tìm được tọa độ M,N .

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(a;b). Gọi \({{S}_{I}}\) là phép đối xứng tâm I.

Ta có M'(x';y') là ảnh của M(x;y) qua \({{S}_{I}}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2a - x\\ y' = 2b - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2a - x'\\ y = 2b - y' \end{array} \right.\)

Đường (C):y=f(x) có ảnh qua đối xứng tâm \({{S}_{I}}\) là

\((C):2b-y=f(2a-x)\Leftrightarrow y=-f(2a-x)+2b\)

Ví dụ 1 :

1. Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm \(\text{M}\left( \text{1};\text{ 3} \right).\)

2. Cho hàm số \(y=\frac{2x-4}{x+1}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm trên \(\left( C \right)\) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết \(\text{M}\left( \text{3};\text{ }0 \right)\) và \(\text{N}\left( \text{1};\text{1} \right).\)

Lời giải.

1. Gọi \(A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\), B là điểm đối xứng với A qua điểm \(M(-1;3) \Rightarrow B\left( -2-{{x}_{0}};6-{{y}_{0}} \right)\)

\(A,B\in (C)\) ⇔ \(\left\{ \begin{align} & {{y}_{0}}=-x_{0}^{3}+3{{x}_{0}}+2 \\ & 6-{{y}_{0}}=-{{(-2-{{x}_{0}})}^{3}}+3(-2-{{x}_{0}})+2 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow 6=-x_{0}^{3}+3{{x}_{0}}+2-{{\left( -2-{{x}_{0}} \right)}^{3}}+3\left( -2-{{x}_{0}} \right)+2\Leftrightarrow 6x_{0}^{2}+12{{x}_{0}}+6=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=0\)

Vậy 2 điểm cần tìm là: \(\left( -1;0 \right)\) và \(\left( -1;6 \right)\)

2. \(\overrightarrow{MN}=(2;-1)\Rightarrow \) phương trình \(\text{MN}:x+2y+3=0\)

Phương trình đường thẳng \(\left( \text{d} \right)\bot \text{MN}\) có dạng: y=2x+m.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\): \(\frac{2x-4}{x+1}=2x+m\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+mx+m+4=0\,\,\,(x\ne -1) \left( 1 \right)\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\Leftrightarrow  \Delta ={{m}^{2}}8m32>0 \left( 2 \right)\)

Khi đó \(A({{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m),\,\,B({{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m)\) với \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là các nghiệm của \(\left( 1 \right)\)

Trung điểm của AB là \(I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+m \right) \equiv I\left( -\frac{m}{4};\frac{m}{2} \right)\) (theo định lý Vi-et)

A,B đối xứng nhau qua MN \(\Leftrightarrow \text{I}\in ~\text{MN}\Leftrightarrow m=-4\)

Suy ra \(\left( 1 \right) ⇔ 2{{x}^{2}}-4x=0\Leftrightarrow x=0,x=2\Rightarrow \text{A}\left( 0;\text{ }\text{4} \right),\text{ B}\left( \text{2};\text{ }0 \right).\)

Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+9x+4\). Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

Lời giải.

Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right),\text{N}\left( -{{\text{x}}_{\text{0}}};-{{y}_{0}} \right) {{x}_{0}}\ne 0\) là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :

\(\left\{ \begin{align} & {{y}_{0}}=x_{0}^{3}+mx_{0}^{2}+9{{x}_{0}}+4\quad \left( 1 \right) \\ & -{{y}_{0}}=-x_{0}^{3}+mx_{0}^{2}-9{{x}_{0}}+4\ \left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Lấy \(\left( 1 \right)\) cộng với \(\left( 2 \right)\) vế với vế ,ta có : \(mx_{0}^{2}+4=0\quad \left( 3 \right)\)

Để \(\left( 3 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi m<0.

Vậy, với m<0 thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O có hoành độ \({{x}_{0}}=\sqrt{-\frac{4}{m}}\)

Bài 1:

1. Tìm trên đồ thị \(\left( \text{C} \right):\mathsf{ }y=\frac{x-3}{x+2}\) hai điểm M,N đối xứng nhau qua \(I(1;-2)\)

2. Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+3}\ \) có đồ thị \(\left( C \right).\) Tìm trên đồ thị hai điểm \(A,\ B\) sao cho A và B đối xứng nhau qua điểm \(M\left( 1;-2 \right)\)

Lời giải.

1. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I.

Ta có phương trình của (C') là: \(2\times (-2)-y=\frac{(2\times 1-x)-3}{(2\times 1-x)+2}\Leftrightarrow y=\frac{-5x+15}{x-4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C') và (C) là \(\frac{x-3}{x+2}=\frac{-5x+15}{x-4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.\)

Hai điểm M,N cần tìm là M(-1;-4) và N(3;0).

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -3;+\infty  \right)\)

Cách 1:

Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm là \(A\left( a;\frac{2a-1}{a+3} \right),\ B\left( b;\frac{2b-1}{b+3} \right)\ \left( a,b\ne -3 \right)\)

Vì \(A,\ B\) đối xứng nhau qua \(M\left( 1;-2 \right)\) nên M là trung điểm của AB do đó

\(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2.1\\ \frac{{2a - 1}}{{a + 3}} + \frac{{2b - 1}}{{b + 3}} = 2.\left( { - 2} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ \frac{{2a - 1}}{{a + 3}} + \frac{{2a - 1}}{{b + 3}} = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ ab = - 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 4 \Rightarrow b = - 2\\ a = - 2 \Rightarrow b = 4 \end{array} \right.\)

Vậy các điểm cần tìm là \(A\left( 4;1 \right),\ B\left( -2;-5 \right)\) hoặc \(A\left( -2;-5 \right),\ B\left( 4;1 \right)\) 

Cách 2:

Gọi \(A\left( a;\frac{2a-1}{a+3} \right)\) Phép đối xứng tâm \(M\left( 1;-2 \right)\) biến A thành điểm B có tọa độ thỏa mãn: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{B}}=2{{x}_{M}}-{{x}_{A}} \\ & {{y}_{B}}=2{{y}_{M}}-{{y}_{A}} \\ \end{align} \right.\) nên \(B\left( 2-a;-4-\frac{2a-1}{a+3} \right)\)

Mà \(B\in \left( C \right)\Rightarrow -4-\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2a\left( 2-a \right)-1}{2-a+3}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a-8=0\Leftrightarrow a=-2\) hoặc a=4

Vậy, các điểm cần tìm là \(A\left( 4;1 \right),\ B\left( -2;-5 \right)\) hoặc \(A\left( -2;-5 \right),\ B\left( 4;1 \right)\)

Bài 2: Tìm m để (C_m) : \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{1}{2}(m+2){{x}^{2}}+2mx+1\) có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng 9x – 6y – 7 = 0.

Lời giải.

\(y'={{x}^{2}}-(m+2)x+2m\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=2\vee x=m\)

Hàm số có hai điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

                                             \(\Leftrightarrow m\ne 2\)

Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là \(\text{A}\left( \text{2};\text{ 2m}-\frac{1}{3} \right)\,,\,\,B\left( m;-\frac{{{m}^{3}}}{6}+{{m}^{2}}+1 \right)\).

A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) \(\Leftrightarrow AB\bot \)(d) và trung điểm I của đoạn AB thuộc (d).

Một vectơ chỉ phương của (d) là \(\overrightarrow{a}=(2;3)\).

\(\overrightarrow{AB}=\left( m-2;-\frac{{{m}^{3}}}{6}+{{m}^{2}}-2m+\frac{4}{3} \right)\)

AB vuông góc với (d) \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a}=0\Leftrightarrow 2m-4-\frac{{{m}^{3}}}{2}+3{{m}^{2}}-6m+4=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{{{m}^{3}}}{2}-3{{m}^{2}}+4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & {{m}^{2}}-6m+8=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \)m = 0 \(\vee \)m = 4 \(\vee \) m = 2 (loại).

Với  m = 0 thì \(\text{A}\left( \text{2};-\frac{1}{3} \right)\), B(0;1) suy ra  trung điểm của AB là \(\text{I}\left( \text{1};\frac{1}{3} \right)\).

Thay tọa độ I vào phương trình của (d) ,ta được 0 = 0 ,suy ra I \(\in \)(d) .vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Với m = 4 thì \(\text{A}\left( \text{2};\frac{23}{3} \right)\), \(\text{B}\left( \text{4};\frac{19}{3} \right)\) suy ra I(3;7).

Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta được  27 – 42 -7 = 0 (sai) \(\Rightarrow I\notin (d)\). Vậy m = 4 không thỏa mãn yêu câu bài toán.

Vậy, m = 0 thỏa mãn bài toán.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Các dạng toán tìm các điểm đối xứng nhau trên đồ thị. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không đi qua

Chúc các em học tập tốt!