Hỏi đáp về Tích phân

A. \( - 1 - \dfrac{1}{e}\)             

B. \(1 - \dfrac{2}{e}\)

C. \( - 1 + \dfrac{2}{e}\)             

D. \(0\)

A. \(2\)                     

B. \( - 1\)

C. \(\pi \)                     

D. \( - \pi \)

A. \(\dfrac{1}{2}\)                             

B. \(2\)

C. \( - 1\)                           

D. \(0\)

A. \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx} \)

B. \(\int\limits_0^\pi  {2\sin xdx} \)

C. \(\int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  - \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx} \)

D. \( - \int\limits_0^{2\pi } {2\sin xdx} \)

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\).

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)

(1): nếu \(f\) là hàm số chẵn.

(2): nếu \(f\) là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \)

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)\) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}\) là hàm số chẵn.

Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \).

Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx\).

Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)dx} \).

Tính tích phân sau đây: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)} dx\).

Hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \).

Hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \).

Hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \).

Hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \).

Hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \).

Hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \).

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \).

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)    (đặt  \(x = \pi  - t\)).

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \)  (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\)).

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)    (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \)).

Tính tích phân sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)  (đặt  \(t = 1 - x\)).

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\cos 3xdx}  + \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\cos 3xdx}  + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{\dfrac{{5\pi }}{2}} {\cos 3xdx} \).

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {{{({3^s} - {2^s})}^2}ds} \).