Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Dân số được ước tính theo công thức S = A . e^rt, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Hỏi sau bao nhiêu năm, dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính?

Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14%/năm.

a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của luỹ thừa?

Cho hai ví dụ về phương trình mũ?

a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3^x và đường thẳng y = 7.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 3^x = 7.

Giải mỗi phương trình sau:

a) 9^{16 – x} = 27^{x + 4};

b) 16^{x – 2} = 0,25 . 2^{–x + 4}.

Chỉ số thay đổi pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺] (trong đó [H⁺] chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số pH của một số mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1.

a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen [H⁺] trong mẫu nước sông đó.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit?

Cho hai ví dụ về phương trình lôgarit?

a) Vẽ đồ thị hàm số y = log₄x và đường thẳng y = 5.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình log₄x = 5.

Giải mỗi phương trình sau:

a) ${\log }_5\left(2x-4\right)+{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x-1\right)=0;$

b) log₂x + log₄x = 3.

Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$ Từ đó, hãy tìm x sao cho ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>\mathrm{2?}$

Cho hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản?

Giải mỗi bất phương trình sau:

a) 7^x+3 < 343;

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 3.$

Quan sát Hình 12 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit \(y = log_{2}x\). Từ đó, hãy tìm x sao cho \(log_{2}x > 1\)?

Cho hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản?

Giải mỗi bất phương trình sau:

a) log₃x < 2;

b) ${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x-5\right)\ge -2.$

Giải mỗi phương trình sau:

a) (0,3)^x–3 = 1;

b) 5^3x–2 = 25;

c) 9^x–2 = 243^x+1;

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=-3;$

e) log₅(3x – 5) = log₅(2x + 1);

g) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+9\right)={\log }_{\frac{1}{7}}\left(2x-1\right).$

Giải mỗi bất phương trình sau:

a) $3^x>\frac{1}{243};$

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le \frac{3}{2};$

c) 4^x+3 ≥ 32^x;

d) log(x – 1) < 0;

e) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+3\right);$

g) ln(x + 3) ≥ ln(2x – 8).

Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất x% / năm (x > 0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi?

Sử dụng công thức tính mức cường độ âm L ở Ví dụ 14, hãy tính mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được, biết rằng giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130dB?

Nghiệm của phương trình 2^{x – 1} = 8 là:

A. 2;

B. 4;

C. 3;

D. 5.

Nghiệm của phương trình 2^x = 5 là:

A.$x=\sqrt{5};$

B.$x=\frac{5}{2};$

C. x = log₂5;

D. x = log₅2.

Nghiệm của phương trình 9^{2x + 1} = 27^{x – 3} là:

A. x = – 9;

B. x = 11;

C. x = 9;

D. x = – 11.

Nghiệm của phương trình log₂(x – 5) = 4 là:

A. x = 21;

B. x = 9;

C. x = 13;

D. x = 7.

Nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)=-2$ là:

A. x = 2;

B. x = 5;

C. $x=\frac{5}{2};$

D. $x=\frac{3}{2}.$

Số nghiệm của phương trình log(x² – 7x + 12) = log(2x – 8) là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Nghiệm của bất phương trình 2^x < 5 là:

A. x > log₂5;

B. x < log₅2;

C. x < log₂5;

D. x > log₅2.

Tập nghiệm của bất phương trình log_0,2(x + 1) > –3 là:

A. (–1; 124);

B. (124; +∞);

C. $\left(-1;-\frac{26}{27}\right);$

D. (–∞; 124).

Giải mỗi phương trình sau:

a) 3^{x – 1} = 5;

b) $3^{x^2-4x+5}=9;$

c) $2^{2x+3}=8\sqrt{2};$

d) 8^{x – 2} = 4^{1 – 2x};

e) $2^{x^2-3x-2}=0,25\cdot {16}^{x-3};$

g) $2^{x^2-4x+4}=3.$

Giải mỗi phương trình sau:

a) log₄ (x – 4) = –2;

b) log₃ (x² + 2x) = 1;

c) ${\log }_{25}\left(x^2-4\right)=\frac{1}{2};$

d) log₉ [(2x – 1)²] = 2;

e) log(x² – 2x) = log(2x – 3);

g) ${\log }_2\left(x^2\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x+8\right)=0.$

Giải mỗi bất phương trình sau:

a) \({{\left( 0,2 \right)}^{2x+1}}>1;\)

b) \({{27}^{2x}}\le \frac{1}{9};\)

c) \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x+4}}\ge 4;\)

d) \({{\left( \frac{1}{25} \right)}^{x+1}}<{{125}^{2x}};\)

e) \({{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{3x-2}}<{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{4-x}};\)

g) \({{\left( 0,5 \right)}^{2{{x}^{2}}-x}}>{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4x-12}}.\)

Giải mỗi bất phương trình sau:

a) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-6\right)<-3;$

b) log₃ (x² – 2x + 2) > 0;

c) ${\log }_4\left(2x^2+3x\right)\ge \frac{1}{2};$

d) log_0,5 (x – 1) ≥ log_0,5 (5 – 2x);

e) log(x² + 1) ≤ log(x + 3);

g) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-6x+8\right)+{\log }_5\left(x-4\right)>0.$

Người ta nuôi cấy vi khuẩn Bacillus subtilis trong nồi lên men và thu được số liệu sau: Lúc ban đầu, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 2.10². Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 3,33.10⁹. Biết vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trưởng trong điều kiện tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi. Hỏi sau bao nhiêu phút, vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Tốc độ của gió S (dặm/giờ) gần tâm của một con lốc xoáy được tính bởi công thức S = 93logd + 65, trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được. Tính quãng đường cơn lốc xoáy đã di chuyển được, biết tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Dân số thành phố Hà Nội năm 2022 khoảng 8,4 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm của Hà Nội không đổi và bằng r = 1,04%. Biết rằng, sau t năm dân số Hà Nội (tính từ mốc năm 2022) ước tính theo công thức: S = A . e^rt, trong đó A là dân số năm lấy làm mốc. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số Hà Nội vượt quá 10 triệu người?

Mức cường độ âm L (dB) được tính bởi công thức $L=10\log \frac{I}{{10}^{-12}},$ trong đó I (W/m²) là cường độ âm. Để đảm bảo sức khỏe cho công nhân, mức cường độ âm trong một nhà máy phải giữ sao cho không vượt quá 85 dB. Hỏi cường độ âm của nhà máy đó phải thỏa mãn điều kiện nào để đảm bảo sức khỏe cho công nhân?