Bài tập 4.8 trang 157 SBT Toán 11

Ta có: \({u_1} = 2;\,{u_2} = \frac{3}{2};\,{u_3} = \frac{5}{4};\,{u_4} = \frac{9}{8};\,{u_5} = \frac{{17}}{{16}}\)

Dự đoán \({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)

Chứng minh bằng quy nạp:

Với n = 1, ta có: \({u_1} = \frac{{{2^0} + 1}}{{{2^0}}} = 2\) (hệ thức đúng)

Giả sử công thức đúng với \(n=k (k > 1)\)

Ta chứng minh công thức đúng với \(n=k+1\). Thật vậy:

\({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2} = \frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{{2.2}^{k - 1}}}} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Vậy công thức đúng với mọi n.

Ta có:

\(\lim {u_n} = \lim \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = \lim \left( {1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1\)

-- Mod Toán 11 HỌC247