Bài tập 3.36 trang 160 SBT Hình học 11

a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD //BC và AB = BC = CD = a, đồng thời AC ⊥ CD, AB ⊥ BD, AC = BD = \(a\sqrt 3 \).

Như vậy \(\left. \begin{array}{l}
CD \bot AC\\
CD \bot SA
\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\)

Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)

Suy ra AH = d(A,(SCD))

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = 2{a^2} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \)

Gọi I là trung điểm của AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B, (SCD)) = d(I,(SCD)).

Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên

\(d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.a\sqrt 2  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Do đó: \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

b) Vì AD // BC nên AD // (SBC), do đó d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC))

Dựng AD ⊥ BC tại E ⇒ BC ⊥ (SAE)

Dựng AD ⊥ SE tại F ta có:

\(\left. \begin{array}{l}
AF \bot SE\\
AF \bot BC\left( {do\,\,BC \bot \left( {SAE} \right)} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot \left( {SBC} \right)\)

Vậy AF = d(A,(SBC)) = d(AD, (SBC))

Xét tam giác vuông AEB ta có:

\(AE = AB.\sin ABE = a\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:

\(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{6{a^2}}}\)

Do đó \(A{F^2} = \frac{{6{a^2}}}{9} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy \(d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = AF = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247