Bài tập 3.34 trang 160 SBT Hình học 11

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD, dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.

Ta có \(\left. \begin{array}{l}
BC \bot SK\\
BC \bot OK
\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SIK} \right)\)

Do đó (SBC) ⊥ (SIK).

b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).

Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK.

Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK ta có \(IM = \frac{{SO.IK}}{{SK}}\).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}
S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = 2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{4} \Rightarrow SK = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\\
S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = 2{a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\\
 \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}
\end{array}\)

Do đó \(IM = \frac{{SO.IK}}{{SK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.a}}{{\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng \(\frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247