Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC

a) Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD’) được tính bởi hệ thức:

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{D^{\prime 2}}}}\)

Ta có: DC = a. DD’ = a

\(AC{\prime ^2} = A{C^2} + CC{\prime ^2} = D{A^2} + D{C^2} + CC{\prime ^2}\)

Hay \(4{a^2} = D{A^2} + {a^2} + {a^2}\),

Tức là: \(D{A^2} = 2{a^2}\)

Vậy 

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{2{a^2}}}\)

Do đó: \(DH = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

b)

Vì CD = DD’ = a nên CD’ ⊥ C’D.

Mặt khác AD ⊥ (CDD’C’) nên CD’ ⊥ AC’ và CD’ ⊥ mp(AC’D).

Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I.

Trong mp(AC’D) kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC’ và CD’.

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Ta có: ΔC’JI đồng dạng ΔC’DA

Nên \(\frac{{IJ}}{{AD}} = \frac{{IC\prime }}{{AC\prime }}\)

Suy ra: \(IJ = AD.\frac{{C\prime D}}{{2AC\prime }}\)

Mặt khác: \(C'D = a\sqrt 2 \) nên 

\(IJ = a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{{2.2a}} = \frac{a}{2}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247