Bài tập 1 trang 23 SGK Hình học 11

Điểm M’ là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc \( \pm {90^0}\) khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM'} } \right|\\\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM'}  = 0\end{array} \right.\)

Khi đó dựa vào tọa độ điểm ta xác định góc quay âm hay dương.

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow{OA}=(-3;2);\overrightarrow{OA'}=(2;3)\) suy ra:

\(\left |\overrightarrow{OA} \right |=\sqrt{9+4}= \sqrt{13}; \left |\overrightarrow{OA'} \right |=\sqrt{4+9}= \sqrt{13}\)

\(\Rightarrow \left | \overrightarrow{OA} \right |= \left | \overrightarrow{OA'} \right |\)

và \(\overrightarrow{OA} .\overrightarrow{OA'} =-3.2+2.3=0\)

Dựa vào biểu diễn điểm A và A' trên hệ trục tọa độ, suy ra góc quay âm.

Vậy \(A'=Q_{(O;-90^0)} (A)\)

Tương tự: \(\overrightarrow{OB}=(-4;5);\overrightarrow{OB'}=(5;4)\)

Suy ra \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}=-4.5+5.4 = 0\\ \left |\overrightarrow{OB} \right |=\left |\overrightarrow{OB'} \right |=\sqrt{41} \end{matrix}\right.\)

Vậy \(B'=Q_{(O;-90^0)} (B)\)

* \(\overrightarrow{OC}=(-1;3);\overrightarrow{OC'}=(3;1)\)

Suy ra \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OC'}=-1.3+3.1 =0 \\ \left |\overrightarrow{OC} \right |=\left |\overrightarrow{OC'} \right |=\sqrt{10} \end{matrix}\right.\)

Vậy \(C'=Q_{(O;-90^0)} (C)\)

Hai tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua \(Q_{(O;-90^0)}\). (đpcm)

Câu b:

Từ câu a ta thấy ảnh của tam giác ABC qua \(Q_{(O;-90^0)}\) là tam giác A'B'C'.

Vậy tam giác A₁B₁C₁ là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục Ox.

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_{A_1}=x_A\\ y_{A_1}=y_A \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A_1}=2\\ y_{A_1}= -3 \end{matrix}\right.\) hay A₁(2; -3)

Tương tự ta có: B₁(5;-4), C₁(3;-1)

-- Mod Toán 11 HỌC247