Toán 11 Cánh Diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết10 Trắc nghiệm36 BT SGK 0 FAQ

Thông qua bài học các em sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng giác cơ bản, Công thức nghiệm và Cách giải phương trình bằng bấm máy tính của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các em học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác. Chúc các em học tập thật tốt!

QUẢNG CÁO

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình tương đương

1.2. Phương trình sinx = m

1.3. Phương trình cosx = m

1.4. Phương trình tanx = m

1.5. Phương trình cotx = m

1.6. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập

3.1. Trắc nghiệm

3.2. Bài tập SGK

4. Hỏi đáp Bài 4 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình tương đương

- Định nghĩa

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình \({f_1}(x) = {g_1}(x)\) tương đương với phương trình \({f_2}(x) = {g_2}(x)\) thì ta viết \({f_1}(x) = {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) = {g_2}(x)\).

- Định lí:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có gái trị khác 0.

1.2. Phương trình \(sin x = m\)

- Nhận xét:

Phương trình \(sin x = \frac{1}{2}\) có các nghiệm là:

\(\begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in ℤ);\\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2 = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in ℤ)
\end{array}\)

Trong TH tổng quát, ta có thể giải phương trình \(sin x = m\) như sau:

Với \(\left| m \right| > 1\), phương trình \(\sin x = m\) vô nghiệm.

Với \(\left| m \right| \le 1\), gọi α là số thực thuộc đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin (\alpha ) = m\). Khi đó, ta có:

\(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \alpha + k2\pi }\\
{x = \pi - \alpha + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

- Chú ý:

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình \(sin x = m\):

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in Z)\);
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in Z)\);
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = k2\pi }\\
{x = \pi + k2\pi }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = k\pi (k \in Z).\)

b) Ta có \(f(x) = \sin g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi }\\
{f(x) = \pi - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(\sin x = \sin ({\alpha ^o})\) như sau:

\(\sin x = \sin ({\alpha ^o}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {\alpha ^o} + k{{360}^o}}\\
{x = {{180}^o} - {\alpha ^o} + k{{360}^o}}
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

1.3. Phương trình \(cosx = m\)

- Nhận xét:

Phương trình \(cosx = m\) có các nghiệm là:

\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)\) và \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)\).

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình \(cosx = m\) như sau:

Với \(\left| m \right| > 1\), phương trình \(cosx = m\) vô nghiệm.

Với \(\left| m \right| \le 1\), gọi \(\alpha \) là số thực thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho. Khi đó, ta có:

\(cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \alpha + k2\pi }\\
{x = - \alpha + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

- Chú ý:

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình \(cosx = m\):

\(cosx = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in Z)\);
\(cosx = 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi (k \in Z)\);
\(cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)\).

b) Ta có \(cos f(x) = \cos g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi }\\
{f(x) = - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(cosx = \cos ({\alpha ^o})\) như sau:

\(cosx = \cos ({\alpha ^o}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {\alpha ^o} + k{{360}^o}}\\
{x = - {\alpha ^o} + k{{360}^o}}
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

1.4. Phương trình \(tanx = m\)

Trong TH tổng quát, ta có thể giải phương trình \(tan x = m\) như sau:

Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(tan x = m\). Khi đó \(\forall m \in R\), ta có:

\(tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in Z)\)

- Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(tan x = \tan {a^o}\) như sau:

\(tan x = \tan {a^o} \Leftrightarrow x = {a^o} + k{180^o}(k \in Z)\)

1.5. Phương trình \(cot x = m\)

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình \(\cot x = m\) như sau:

Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) sao cho \(\cot \alpha = m\). Khi đó với mọi \(\forall m \in R\), ta có:

\(cot x = m \Leftrightarrow \tan x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in Z)\)

1.6. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

Có thể sử dụng MTCT để giải phương trình lượng giác cơ bản (sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m)

SHIFT + sin, cos, tan + m = kết quả

- Chú ý: Để giải phương trình cotx = m bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình

VIDEO

YOMEDIA

Trắc nghiệm hay với App HOC247

YOMEDIA

Bài tập minh họa

Ví dụ

Giải các phương trình lượng giác sau:

a. \(sin x = \sin \frac{\pi }{6}\).

b. \(tanx - 1 = 0\).

c. \(2cosx = 1\).

d. \(\cot x = \tan 2x\).

e. \({\cos ^2}x - 3\cos x + 2 = 0\).

Lời giải

a. Ta có

\(\begin{array}{l}
\sin x = \sin \frac{\pi }{6}\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
{x = \pi + \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in Z)
\end{array}\)

b. Ta có

\(\begin{array}{l}
2\cos x = 1\\
\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)
\end{array}\)

c. Ta có

\(\begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in Z)
\end{array}\)

d. Ta có

\(\begin{array}{l}
\cot x = \tan 2x\\
\Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} - 2x + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{3}(k \in Z)
\end{array}\)

e. Ta có

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}x - 3\cos x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 1}\\
{\cos x = 2(VN)}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = k2\pi (k \in Z)
\end{array}\)

ADMICRO

3. Luyện tập Bài 4 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Học xong bài này, các em có thể:

- Nhận biết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: bằng cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng.

- Tính được nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay. Giải phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản.

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác (ví dụ: một số bài toán liên quan đến dao động điều hòa trong Vật Lí,...).

3.1. Trắc nghiệm Bài 4 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Gọi S là tập nghiệm của phương trình \(2\cos x-\sqrt{3}=0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. \(\frac{5\pi }{6}\in S.\)
- B. \(\frac{11\pi }{6}\in S.\)
- C. \(\frac{13\pi }{6}\notin S.\)
- D. \(-\frac{13\pi }{6}\notin S.\)
Câu 2:
Hỏi \(x=\frac{7\pi }{3}\) là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A. \(2\sin x-\sqrt{3}=0.\)
- B. \(2\sin x+\sqrt{3}=0.\)
- C. \(2\cos x-\sqrt{3}=0.\)
- D. \(2\cos x+\sqrt{3}=0.\)
Câu 3:
Hỏi trên đoạn \(\left[ 0;2018\pi \right]\), phương trình \(\sqrt{3}\cot x-3=0\) có bao nhiêu nghiệm?
- A. 6339
- B. 6340
- C. 2017
- D. 2018

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2. Bài tập SGK Bài 4 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 11 Cánh Diều.

Khởi động trang 32 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 32 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 33 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 33 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 33 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 34 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 35 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 35 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 36 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 6 trang 37 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 37 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD