Hôm nay chúng ta sẽ khám phá cách giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, từ những phương trình và bất phương trình đơn giản đến những bài toán phức tạp hơn. Chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc và phương pháp đặc biệt để tìm ra các giá trị của biến số thỏa mãn các điều kiện cho trước.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phương trình mũ
Phương trình dạng \(a^x=b\), trong đó a và b là những số cho trước, a > 0, \(a \ne 1\), được gọi là phương trình mũ cơ bản.
Nghiệm của phương trình mũ cơ bản
Cho phương trình mũ \(a^x=b\) (với \(0 < a \ne 1\)).
- Nếu b > 0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = log_a b\).
- Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý:
+) Nếu\(b = a^\alpha\) thì ta có \(a^x=a^\alpha \Leftrightarrow x= \alpha \).
+) Tổng quát hơn, \(a^{u(x)}=a^{v(x)} \Leftrightarrow u(x)=v(x)\) .
1.2. Phương trình lôgarit
Phương trình dạng \(\log_a x = b\), trong đó a, b là những số cho trước, a > 0, \(a \ne 1\), được gọi là phương trình lôgarit cơ bản.
Nghiệm của phương trình lôgarit cơ bản
Phương trình \(\log_a x = b\) (\(0< a \ne 1\)) luôn có nghiệm duy nhất \(x = a^b\)
Chú ý: Tổng quát, xét phương trình dạng
\(\log_a u(x) = \log_a v(x)\) (\(a > 0, a \ne 1\)). (1)
Để giải phương trình (1), trước hết cần đặt điều kiện có nghĩa: u(x) > 0 và v(x) > 0. Khi đó, (1) được biến đổi thành phương trình
u(x) = v(x). (2)
Sau khi giải phương trình (2), ta cần kiểm tra sự thoả mãn điều kiện. Nghiệm của phương trình (1) là những nghiệm của (2) thoả mãn điều kiện.
1.3. Bất phương trình mũ
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \(a^x > b\) (hoặc \(a^x \ge b\), \(a^x < b\), \(a^x \le b\)) với \(a>0, a \ne 1\).
Xét bất phương trình dạng \(a^x > b\) (3)
– Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R.
– Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với \(a^x > a^{\log_a b}\).
+ Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > \(\log_a b\).
+ Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < \(\log_a b\).
Chú ý:
+) Tương tự như trên, từ đồ thị ở Hình 4, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình \(a^x \ge b\), \(a^x < b\), \(a^x \le b\) (các bất phương trình \(a^x < b\), \(a^x \le b\) vô nghiệm nếu b ≤ 0).
+) Nếu a > 1 thì \(a^{u(x)} > a^{v(x)} \Leftrightarrow {u(x)} > v(x)\).
Nếu 0 < a < 1 thì \(a^{u(x)} > a^{v(x)} \Leftrightarrow {u(x)} < v(x)\).
1.4. Bất phương trình Lôgarit
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng \(\log_a x > b\) (hoặc \(\log_a x \ge b\), \(\log_a x < b\), \(\log_a x \le b\)) với \(a>0, a \ne 1\).
Xét bất phương trình dạng \(\log_a x > b\).
– Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x > a^b\).
– Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(0 < x < a^b\).
Chú ý:
+) Tương tự như trên, từ đồ thị ở Hình 5, ta nhận được kết quả về nghiệm của mỗi bất phương trình \(\log_a x \ge b\), \(\log_a x < b\), \(\log_a x \le b\).
+) Nếu a > 1 thì \(\log_a u > \log_a v \Leftrightarrow u > v > 0\).
Nếu 0 < a < 1 thì \(\log_a u(x) > \log_a v(x) \Leftrightarrow 0 < u(x) < v(x)\).
Bài tập minh họa
Câu 1. Phương trình \({{\log }_{5}}(2x-3)=1\)có nghiệm là
A. \(x=2\).
B. \(x=4\).
C. \(x=5\).
D. \(x=3\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện \(x>\frac{3}{2}\), thu được \(2\text{x}-3=5\Rightarrow x=4\).
Câu 2. Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{x}}<{{e}^{x}}\).
A. \(\left( 0;+\infty \right)\).
B. \(\mathbb{R}\).
C. \(\left( -\infty ;0 \right)\).
D. \(\mathbb{R}\left\{ 0 \right\}\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Bất phương trình đã cho tương đương với \({{\left( \frac{3}{e} \right)}^{x}}<1\)\(\Leftrightarrow x<{{\log }_{\frac{3}{e}}}1\Leftrightarrow x<0\).
Luyện tập Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
- Giải phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit đơn giản;
- Vận dụng vào giải quyết các vấn đề trong các môn học khác và trong thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(S=\left( 0;2 \right)\).
- B. \(S=\mathbb{R}\).
- C. \(S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\).
- D. \(S=\left( -2;0 \right)\).
-
- A. \(x=\frac{7}{3}.\)
- B. \(x=2.\)
- C. \(x=3.\)
- D. \(x=\frac{10}{3}.\)
-
- A. \(x=2\).
- B. \(x=4\).
- C. \(x=5\).
- D. \(x=3\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khám phá 1 trang 26 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 27 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 28 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 28 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 29 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 30 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 31 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 6 trang 31 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 32 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 32 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 1 trang 32 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 2 trang 33 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 3 trang 33 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 4 trang 33 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 5 trang 33 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 6 trang 33 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 7 trang 33 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Bài tập 1 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 10 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 11 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 12 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 4 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
