Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá hai khái niệm cực kỳ quan trọng trong toán học: hàm số mũ và hàm số lôgarit. Hàm số mũ liên quan đến sự tăng trưởng và giảm sút với mức độ nhanh chóng, giúp chúng ta hiểu và mô hình hóa những quá trình tự nhiên và xã hội, từ tăng trưởng dân số đến phân rã hạt nhân. Hàm số lôgarit là phép tính ngược của hàm số mũ, được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như tài chính, khoa học dữ liệu và công nghệ thông tin để giải quyết các vấn đề liên quan đến tỉ lệ tăng trưởng, xác suất và độ phức tạp.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hàm số mũ
Cho a là số thực dương khác 1.
Hàm số \(y = a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Đồ thị của hàm số mũ
(1) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
Tập giá trị: \(T = (0;+\infty )\).
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
(2) Sự biến thiên:
Nếu \(a>1\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty ,\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0.
\end{array}\]
Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0 ,\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty.
\end{array}\]
(3) Đồ thị: cắt trục tung tại điểm \((0;1)\); đi qua điểm \((1;a)\) và luôn nằm phía trên trục hoành.
1.2. Hàm số lôgarit
Cho a là số thực dương khác 1.
Hàm số \(y =\log_a x\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Đồ thị của hàm số lôgarit
(1) Tập xác định: \(D=(0;+\infty )\).
Tập giá trị: \(T = \mathbb{R}\).
Hàm số liên tục trên \((0;+\infty )\).
(2) Sự biến thiên:
Nếu \(a>1\) thì hàm số đồng biến trên \((0;+\infty )\) và
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _a}x = + \infty ,\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _a}x = - \infty .
\end{array}\]
Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\) và
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _a}x = - \infty ,\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _a}x = + \infty .
\end{array}\]
(3) Đồ thị: cắt trục tung tại điểm \((1;0)\); đi qua điểm \((a;1)\) và luôn nằm bên phải trục tung.
Bài tập minh họa
Câu 1. Đồ thị dưới đây có thể là đồ thị của hàm số nào?
A. \(y={{3}^{x}}\).
B. \(y={{\left( \sqrt{3} \right)}^{x}}\).
C. \(y={{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{x}}\).
D. \(y={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Quan sát ĐTHS ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và đi qua điểm \(\left( -1;3 \right)\) nên chọn D.
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{-3}}\)
A. \(\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\).
B. \(\left( 1;+\infty \right)\).
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\).
D. \(\left( -\infty ;-1 \right)\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: hàm số xác định khi \({{x}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm 1\).
Vậy \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\).
Luyện tập Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết hàm số mũ và hàm số lôgarit;
- Vẽ đồ thị và nhận biết tính chất của các hàm số này, vận dụng vào giải quyết các vấn đề trong các môn học khác và trong thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(D=\left( 0;+\infty\right)\).
- B. \(D=\left( \frac{3}{2};+\infty \right)\).
- C. \(D=\left( -\infty ;0 \right)\).
- D. \(D=\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right)\).
-
- A. \(\left[ 1;+\infty\right)\).
- B. \(\left( 1;+\infty \right)\).
- C. \(\left( -\infty ;+\infty \right)\).
- D. \(\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\).
-
- A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
- B. \(\left( 1\,;\,+\infty \right).\)
- C. \(\left[ 1\,;\,+\infty \right).\)
- D. \(\mathbb{R}.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 6 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khám phá 1 trang 20 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 20 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 22 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 22 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 22 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 23 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 1 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 2 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 3 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 4 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 5 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 6 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải Bài 7 trang 25 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Bài tập 1 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 10 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 3 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
