Trong bài học này, chúng ta sẽ tập trung vào việc tìm hiểu Các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số. Chúng ta sẽ khám phá cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản như hàm hằng, hàm mũ, hàm số lũy thừa, hàm tổng và hiệu, và hàm hợp. Hãy cùng nhau bắt đầu nào!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản
a. Đạo hàm của hàm số \(y={{x}^{n}}(n\in N,n>1)\)
| Hàm số \(y={{x}^{n}}(n\in N,n>1)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \(({{x}^{n}})' =n{{x}^{n-1}}\). |
Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:
- Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)' = 0 với c là hằng số.
- Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)' = 1.
b. Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\)
|
Hàm số \(y=\sqrt x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R, x>0\) và \((\sqrt x)'={1 \over {2 \sqrt x}}\). |
c. Đạo hàm của hàm số lượng giác
|
- Hàm số \(y = sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \((sinx)' = cosx\). - Hàm số \(y = cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \((cosx)' = – sinx\). - Hàm số \(y = tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\) và \((\tan x)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\). - Hàm số \(y = cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne k\pi ,k\in Z\) và \((\cot x)'=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\). |
d. Đạo hàm của hàm số mũ
|
- Hàm số \(y = {{e}^{x}}\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \(({{e}^{x}})' ={{e}^{x}}\). - Hàm số \(y = {{e}^{x}}\) \((a > 0, a \ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \(({{a}^{x}})' ={{e}^{x}}lna\). |
e. Đạo hàm của hàm số lôgarit
|
- Hàm số \(y = ln x\) có đạo hàm tại mọi x dương và \((lnx)' = {{1}^{x}}\) - Hàm số \(y = {log_a}x\) \((a>0, a \ne 1)\) có đạo hàm tại mọi x dương và \(({log_a}x)'=1 \over xlna\). |
1.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lí
|
Giả sử \(f = f(x), g = g(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: \((f+g)'=f'+g'\) \((fg)'= f'g+fg'\) \((f-g)'=f'-g'\) \(\left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'g-fg'}{{{g}^{2}}}(g=g(x)\ne 0)\) |
Hệ quả: Cho \(f = f(x)\) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
- Nếu c là một hằng số thì \((cf)' = cf'\).
- \(\left( \frac{1}{f} \right)'=-\frac{f'}{{{f}^{2}}}(f=f(x)\ne 0)\).
b. Đạo hàm của hàm hợp
Giả sử hàm số \(u = g(x)\) xác định trên (a ; b) và lấy giá trị trên (c ; d); \(y = f(u)\) là hàm số của u, xác định trên (c ; d) và lấy giá trị trên R. Khi đó, ta có thể lập được một hàm số mới xác định trên (a ; b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc như hình dưới.
.jpg)
Hàm số \(y = f(g(x))\) được gọi là hàm hợp của hai hàm số \(y=f(u), u=g(x)\).
Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp
| Nếu hàm số \(u = g(x)\) có đạo hàm tại x là \({u'_x}\) và hàm số \(y = f(u)\) có đạo hàm tại u là \({y'_u}\) thì hàm hợp \(y = f(g(x))\) có đạo hàm tại x là ({y'_x}={y'_u}.{u'_x}\). |
Nhận xét: Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp:
Bài tập minh họa
Bài 1. Tính các đạo hàm của các hàm số sau?
a) y = –x3 + 3x + 1
b) y = (2x – 3)(x5 – 2x)
c) \(y = {x^2}\sqrt x \)
d) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\)
e) \(y = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{x - 3}}\)
Hướng dẫn giải
a) y’ = (–x3 + 3x + 1)’ = –3x2 + 3
b) y = (2x – 3)(x5 – 2x).
y’ = [(2x – 3)(x5 – 2x)]’
= (2x – 3)’.(x5 – 2x) + (x5 – 2x)’.(2x – 3)
= 2(x5 – 2x) + (5x4 – 2)(2x – 3)
= 12x5 – 15x4 – 8x + 6.
c)
\(\begin{array}{l} y = {x^2}\sqrt x \\ y' = {\left( {{x^2}\sqrt x } \right)'}\\ = {\left( {{x^2}} \right)'}.\sqrt x + {\left( {\sqrt x } \right)'}.{x^2}\\ = 2x.\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}.{x^2}\\ = 2x\sqrt x + \frac{1}{2}x\sqrt x \\ = \frac{{5x\sqrt x }}{2} \end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}
y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\\
\Rightarrow y' = {\left( {\frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}} \right)'}\\
= \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}'}\left( {1 - 3x} \right) - {{\left( {1 - 3x} \right)}'}\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}\\
= \frac{{2\left( {1 - 3x} \right) + 3\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}
\end{array}\)
e)
\(\begin{array}{l}
y = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{x - 3}}\\
\Rightarrow y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}'}\left( {x - 3} \right) - {{\left( {x - 3} \right)}'}\left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\left( {4x - 4} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 12x + 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau?
a) y = (x7 + x)2
b) y = (1 – 2x2)3
Hướng dẫn giải
a) y = (x7 + x)2. Sử dụng công thức (uα)′=α.uα−1.u' (với u = x7 + x)
y' = 2(x7 + x).(x7 + x)’ = 2(x7 + x)(7x6 + 1).
b) y = (1 – 2x2)3. Sử dụng công thức (uα)' với u = 1 – 2x2
y' = 3(1 – 2x2)2.(1 – 2x2)’ = 3(1 – 2x2)2(– 4x) = – 12x(1 – 2x2)2.
3. Luyện tập Bài 2 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Học xong bài học này, em sẽ:
- Tính được đạo hàm một số hàm sơ cấp cơ bản.
- Sử dụng được các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số và đạo hàm của hàm hợp.
- Nhận biết được khái niệm đạo hàm cấp hai, tính được đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản và giải quyết được một số bài toán thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 2 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(\frac{{ - 2x - 2}}{{3{x^2}}}\)
- B. \(\frac{{ - 2x - 2}}{{{{\left( {{x^3} - 1} \right)}^2}}}\)
- C. \(\frac{{ - 2x - 2 - 3{x^2}}}{{{{\left( {{x^3} - 1} \right)}^2}}}\)
- D. \(\frac{{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) - 3{x^2}\left( { - {x^2} - 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {{x^3} - 1} \right)}^2}}}\)
-
- A. 3a2 − 6at − 15t2
- B. 3a2 − 3t2
- C. −6at − 15t2
- D. 3a2 − 3t2 − 6at − 15t2
-
- A. 2x
- B. 1
- C. 0
- D. Không tồn tại
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 2 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 1 trang 64 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều
Hoạt động 2 trang 65 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 2 trang 65 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 3 trang 65 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 3 trang 65 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 4 trang 65 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 4 trang 66 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 5 trang 66 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 5 trang 66 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 6 trang 66 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 6 trang 66 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 7 trang 67 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 7 trang 67 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 8 trang 67 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 8 trang 67 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 9 trang 68 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 9 trang 68 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 10 trang 69 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 10 trang 69 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 11 trang 69 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 12 trang 71 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 1 trang 71 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 2 trang 71 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 4 trang 71 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 5 trang 72 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 6 trang 72 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 7 trang 72 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 8 trang 72 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 10 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 11 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 12 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 13 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 14 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 15 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 16 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 17 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 18 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 19 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 20 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 21 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 22 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 23 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 24 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 25 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 26 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 27 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 28 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
4. Hỏi đáp Bài 2 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
