Đạo hàm là khái niệm quan trọng bậc nhất của Toán học 11, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Sau đây là nội dung bài học Định nghĩa đạo hàm, Ý nghĩa hình học của đạo hàm môn Toán 11 Cánh Diều do HOC247 biên soạn, bài học này sẽ bước đầu giúp các em tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Đạo hàm tại một điểm
a. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
Bài toán tìm vận tốc tức thời
- Từ vị trí O, thả viên bi rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi tại thời điểm 0s, và bỏ qua sức cản không khí, ta được phương trình chuyển động của viên bi là y = f(x) =\(1 \over 2\)gx2 (g là gia tốc rơi tự do, g \(\approx \) 9,8 m/s2).
.jpg)
- Giả sử tại thời điểm x0, viên bi ở vị trí M0 có y0 = f(x0); tại thời điểm x1 viên bi ở vị trí M1 có y1 = f(x1). Khoảng thời gian từ x0 đến x1 quãng đường viên bị đi được là M0.M1 = f(x1) - f(x0). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là
\( \frac{{f\left( {x_1}\right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1}- {x_0}}}\)
- Nếu x1 − x0 càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm x0 . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số \(\frac{{f\left( {x_1}\right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1}- {x_0}}}\) khi x1 dần đến x0 là vận tốc tức thời tại thời điểm x0 của viên bị, kí hiệu là v(x0). Nói cách khác:
\(v({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x_1} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}}\)
- Giá trị \(v({x_0}) \) gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) =\(1 \over 2\)gx2 tại điểm \({x_0}\).
Bài toán tìm cường độ tức thời
- Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian \(|t − {t_0}|\) được xác định bởi công thức:
\( \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\)
- Nếu \(|t − {t_0}|\) càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm \({t_0}\). Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:
- Giới hạn hữu hạn (nếu có) \( \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\) được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \({t_0}\).
b. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
|
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng (a ; b) và điểm \({{x}_{0}}\in (a;b)\). - Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \({x_0}\) và được kí hiệu là \(f'({{x}_{0}})\) hoặc \(y{{'}_{{{x}_{0}}}}\) |
Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:
- \(\Delta x=x-{{x}_{0}}\) và gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).
- \(\Delta y=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})\) và gọi \(\Delta y\) là số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \({x_0}\). Khi đó, ta có:
\(f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
c. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng (a ; b) và điểm \({{x}_{0}}\in (a;b)\).
Để tính đạo hàm \(f'({{x}_{0}})\) của hàm số \(y=f(x)\) tại \({x_0}\), ta lần lượt thực hiện:
|
- Bước 1. Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\). Tính \(\Delta y=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})\). - Bước 2. Rút gọn tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Bước 3. Tính \(\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\) Kết luận: Nếu \(\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=a\) thì \(f'({{x}_{0}})=a\). |
d. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí.
- Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\) là đạo hàm của hàm số tại \({t_0}\): \(v({t_0}) = s'({t_0})\).
1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
|
- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \({{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))\). - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \({{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))\) là \(y=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})\). |
Bài tập minh họa
Bài 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)
b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)
\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)
Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)
b) \(f(x)=sinx\)
\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)
\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)
Bài 2.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:
TH1: Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)
TH2: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)
b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)
TH1: Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.
Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)
TH2: Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)
Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)
3. Luyện tập Bài 1 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Học xong bài học này, em sẽ:
- Nhận biết một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm, định nghĩa đạo hàm.
- Tính đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.
- Nhận biết ý nghĩa hình học của đạo hàm. Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.
- Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 1 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. Có hai câu đúng và một câu sai.
- B. Có một câu đúng và hai câu sai.
- C. Cả ba đều đúng.
- D. Cả ba đều sai.
-
- A. Hàm số liên tục tại x = 1.
- B. Hàm số có đạo hàm tại x = 1.
- C. f(0) = -2
- D. f(-2) = -3
-
- A. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- B. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- C. \(f'(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- D. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 1 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 60 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 1 trang 61 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 2 trang 62 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 2 trang 62 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 3 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 1 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 2 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 3 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 9 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
4. Hỏi đáp Bài 1 Chương 7 Toán 11 Cánh Diều
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
